contrôles en terminale ES

Contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 4 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une observation faite sur la fréquentation d'un stade a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement de 80%, ainsi que l'apparition de 10 000 nouveaux abonnés.
L'objet de cet exercice est l'étude du nombre annuel des abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la même au fil des ans.
On note $a_{n}$ le nombre des abonnés à la fin de la n^ième année et on précise que $a_{0} = 30 000$ .

Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ . Justifier que pour tout nombre entier naturel n, on a $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 10 000$ .
$a_{1} = 0,8 \times 30000 + 10000 = 34000$ .
$a_{2} = 0,8 \times 34000 + 10000 = 37200$ .
Soit $a_{n}$ le nombre des abonnés à la fin de la n^ième année. L'année suivante avec un taux de réabonnement de 80% le nombre d'abonnés sera de $0,8 a_{n}$ auquel il faudra ajouter les 10 000 nouveaux abonnés.
L'évolution du nombre d'abonnés d'une année sur l'autre est modélisée par $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 10000$ .
Étude graphique de la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ .
1. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm représente 10 000 abonnés) représenter la droite D d'équation $y = 0,8 x + 10 000$ et la droite Δ d'équation $y = x$ . Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et Δ, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1}$ , $a_{2}$ et $a_{3}$ (laisser apparents les traits de construction).
2. Quelle semble être la limite de la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ ?
  La suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ semble converger vers 50 000 (abscisse du point d'intersection des droites D et Δ)
  En effet , si la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ admet une limite finie $𝓁$ alors $𝓁$ est solution de l'équation $\begin{array}{r} 𝓁 = 0,8 𝓁 + 10 000 & \Leftrightarrow & 0,2 𝓁 = 10000 \\ \Leftrightarrow & 𝓁 = 50000 \end{array}$
  Si, la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ admet une limite quand n tend vers $+ \infty$ alors cette limite est 50000.
Étude numérique de la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ .
On considère la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ définie par $u_{n} = a_{n} - 50000$ pour tout nombre entier naturel n.
1. Démontrer que la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  $u_{0} = a_{0} - 50000 = 30000 - 50000 = - 20000$
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 50000 \\ = & (0,8 a_{n} + 10000) - 50000 \\ = & 0,8 a_{n} - 40000 \\ = & 0,8 (a_{n} - 50000) \\ = & 0,8 u_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n}$ alors la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison 0,8 avec $u_{0} = - 20000$ .
2. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $a_{n} = 50000 - 20000 \times {0,8}^{n}$ .
  ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de terme initial −20000 alors pour tout entier n, $u_{n} = - 20000 \times {0,8}^{n}$
  Donc pour tout entier n, $\begin{matrix} a_{n} - 50000 = - 20000 \times {0,8}^{n} & \Leftrightarrow & a_{n} = 50000 - 20000 \times {0,8}^{n} \end{matrix}$
  Pour tout nombre entier naturel n, $a_{n} = 50000 - 20000 \times {0,8}^{n}$ .
3. Déterminer $\lim_{n \to + \infty} a_{n}$ .
  $0 < 0,8 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,8}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 50000 - 20000 \times {0,8}^{n} = 50000$ .
  Ainsi, $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 50000$
L'objectif des dirigeants du stade est d'avoir au moins 45 000 abonnés. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, dans combien d'années, cet objectif sera-t-il atteint ?
Le nombre n d'années est le plus petit entier solution de $\begin{array}{l} 50000 - 20000 \times {0,8}^{n} ⩾ 45000 & \Leftrightarrow & - 20000 \times {0,8}^{n} ⩾ - 5000 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ 0,25 \\ \Leftrightarrow & \ln {0,8}^{n} ⩽ \ln 0,25 \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 ⩽ \ln 0,25 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,25}{\ln 0,8} \approx 6,21 \end{array}$
Il faudra sept ans pour avoir au moins 45 000 abonnés.

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