Contrôle du 16 avril 2008

Corrigé de l'exercice 1

1. 1. Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour un mois en abscisse et 1 cm pour 100 cents en ordonnée).

   2. Donner l'équation de la droite D d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à ${10}^{-3}$ près. Tracer la droite D dans le repère précédent.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$y=\mathrm{46,417}x+\mathrm{335,891}$$

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2. La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose $z_i=\ln y_i$.

   1. Compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à ${10}^{-3}$)

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      $y_i$	466,1	464,7	459,5	471,2	486	573,5	613,3	691,8	863	853,7	791,7	916,7
      $z_i=\ln y_i$	6,144	6,141	6,13	6,155	6,186	6,352	6,419	6,539	6,76	6,75	6,674	6,821

   2. L'équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés est $z=\mathrm{0,0725}x+\mathrm{5,951}$.
      En déduire l'expression de y en fonction de x de la forme $y=a{\mathrm{e}}^{bx}$ avec a arrondi au centième.

      Nous avons $z=\ln y$ et pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ d'où :$$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0725}x+\mathrm{5,951}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{5,951}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0725}x}\\ & \iff & y=\mathrm{384,14}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0725}x}\end{array}$$

      $y=\mathrm{384,14}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0725}x}$

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3. La moyenne du cours du blé pour le mois de février 2008 était de 1059 cents/boisseau. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ?

   Le rang du mois de février 2008 est 14 :

   • Avec l'ajustement affine on obtient une estimation de la moyenne mensuelle du cours du blé de : $$\mathrm{46,417}\times 14+\mathrm{335,891}\approx \mathrm{985,73}$$

   • Avec l'ajustement exponentiel on obtient une estimation de la moyenne mensuelle du cours du blé de : $$\mathrm{384,14}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,0725}\times 14}\approx \mathrm{1059,98}$$

   Dans ce cas, c'est l'ajustement exponentiel qui fourni la meilleure estimation.

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Remarque :

La moyenne mensuelle du cours du blé était de 1096,3 cents/boisseau pour le mois de mars avec un pic de 1275 cents/boisseau le 15 mars 2008. Au 15 avril 2008, le cours du blé est de 903 cents/boisseau .

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