contrôle du 22 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 1

À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   La droite D d'équation $y=2x-8$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x-8=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. On note g la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2x+8$. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

   La droite D d'équation $y=2x-8$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x-8\right)=0$ soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-2x+8=0$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$.

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3. Déterminer $f\left(3\right)$ et $f\prime \left(3\right)$ .

   La courbe ${𝒞}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $A\left(3;2\right)$ alors $f\left(3\right)=2$ et $f\prime \left(3\right)=0$ .

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4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f\prime$ ?

   D'après le graphique, la fonction f admet un minimum atteint pour $x=3$ alors la dérivée de la fonction f s'annule en changeant de signe pour $x=3$. La courbe $C_2$, est la seule courbe qui convienne.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

5. Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle.

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 2 a un coefficient directeur négatif donc $f\prime \left(2\right)<0$ et la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 4 a un coefficient directeur positif donc $f\prime \left(4\right)>0$

   Alors le produit $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)<0$

   a. $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)<0$

   b. $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)=0$

   c. $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)>0$

6. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C'est à dire la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ .

   1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=0$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=0$.

      ---

   2. Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h ?

      Plusieurs critères permettent d'identifier la courbe $C_1$ :

      • $h\left(3\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(3\right)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
      • Les fonctions f et h ont des variations contraires.

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      Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

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