contrôles en terminale ES

contrôle du 22 octobre 2008

thèmes abordés

  • Fonctions : limites et dérivée, lecture graphique.
  • Théorème de la valeur intermédiaire.
  • Bénéfice maximal.

exercice 1

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée 𝒞f d'une fonction f dérivable sur . On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer limx+fx

  2. On note g la fonction définie sur par gx=fx-2x+8. Déterminer limx+gx.

  3. Déterminer f3 et f3 .

  4. Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f ?

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe C1Courbe C2Courbe C3
  5. Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle.

    a. f2×f4<0

    b. f2×f4=0

    c. f2×f4>0

  6. On considère la fonction h inverse de la fonction f. C'est à dire la fonction définie sur par hx=1fx .

    1. Déterminer limx+hx.

    2. Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h ?


exercice 2

Soit f la fonction définie sur par : fx=1-2x-3x2+1. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère du plan.

  1. Étudier les limites de la fonction f en - et en +.

  2. Soit D la droite d'équation y=1-2x . Montrer que D est asymptote à la courbe 𝒞f en - et en +.

  3. On note f la dérivée de la fonction f, calculer fx

  4. Le tableau de variation de la fonction f est donné ci-dessous :

    x

    − ∞ + ∞

    fx

     fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    1. Faire figurer les limites trouvées dans le tableau.

    2. Montrer que l'équation fx=0, admet une solution unique α avec α-10.

    3. Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α à 10-2 près.


exercice 3

Soit C la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle 016 par : Cx=0,5x3-12x2+114x+100.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d'articles fabriqués par jour.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée CT, est donnée  en annexe.

  1. La recette totale en euros pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par Rx=100x-3x2.

    1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe G représentative de la fonction R.

    2. Par lecture graphique, déterminer :

      • l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice ;

      • la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

  2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle 016 par Bx=Rx-Cx.

    1. Calculer Bx

    2. Étudier les variations de la fonction B.

    3. En déduire la production x0 (arrondie à l'article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est ce bénéfice maximal arrondi à l'euro près.

 

ANNEXE

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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