contrôles en terminale ES

contrôle du 22 octobre 2008

Corrigé de l'exercice 3

Soit C la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle ]0;16] par : C(x)=0,5x3-12x2+114x+100.
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d'articles fabriqués par jour.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée CT, est donnée  en annexe.

  1. La recette totale en euros pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R(x)=100x-3x2.

    1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe G représentative de la fonction R.

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Par lecture graphique, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice ; la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

      Graphiquement, il y a un bénéfice lorsque la courbe de la fonction recette G est au dessus de la courbe de coût de production CT . Soit avec la précision permise par le graphique, pour une production comprise entre 5,2 et 15,3 centaines d'articles.

      Graphiquement, le bénéfice est maximal lorsque sur l'intervalle [5,2;15,3] la distance entre la courbe de la fonction recette G et la courbe de coût de production CT est maximale. Soit avec la précision permise par le graphique, pour une production d'environ 11,2 centaines d'articles.

  2. Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle ]0;16] par B(x)=R(x)-C(x).

    1. Calculer B(x)

      Calculons B(x), B(x)=100x-3x2-(0,5x3-12x2+114x+100)B(x)=-0,5x3+9x2-14x-100

      D'où B(x)=-3×0,5x2+2×9x-14B(x)=-1,5x2+18x-14

      Ainsi, B est la fonction définie sur ]0;16] par B(x)=-1,5x2+18x-14


    2. Étudier les variations de la fonction B.

      Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée B ’

      Étudions le signe du polynôme du second degré -1,5x2+18x-14 avec a=-1,5, b=18 et c=-14

      Δ=b2-4ac soit Δ=18-4×(-1,5)×(-14)=240 , le polynôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=-18-415-3=18+4153etx2=-18+415-3=18-4153

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de B et les variations de B sur l'intervalle ]0;16].

      x0  18-4153 18+4153 16
      B(x)  0||+0|| 
      B(x) 

      − 100

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

       

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      − 68


    3. En déduire la production x0 (arrondie à l'article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est ce bénéfice maximal arrondi à l'euro près.

      D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle ]0;16], le bénéfice est maximal pour une production x0=18+415311,164

      D'autre part, B(11,16)=-0,5×11,163+9×11,162-14×11,16-100=169,706

      Le bénéfice maximal, arrondi à l'euro près, est de 170 € avec une production de 1116 articles.



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