Soit C la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle par : .
La fonction C modélise le coût total de production, exprimé en euro, de x centaines d'articles fabriqués par jour.
Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée , est donnée en annexe.
La recette totale en euros pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par .
Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe G représentative de la fonction R.
Par lecture graphique, déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice ; la production pour laquelle le bénéfice est maximal.
Graphiquement, il y a un bénéfice lorsque la courbe de la fonction recette G est au dessus de la courbe de coût de production . Soit avec la précision permise par le graphique, pour une production comprise entre 5,2 et 15,3 centaines d'articles.
Graphiquement, le bénéfice est maximal lorsque sur l'intervalle la distance entre la courbe de la fonction recette G et la courbe de coût de production est maximale. Soit avec la précision permise par le graphique, pour une production d'environ 11,2 centaines d'articles.
Le bénéfice est la fonction B définie sur l'intervalle par .
Calculer
Calculons ,
D'où
Ainsi, est la fonction définie sur par
Étudier les variations de la fonction B.
Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée B ’
Étudions le signe du polynôme du second degré avec , et
soit , le polynôme admet deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de et les variations de B sur l'intervalle .
x | 0 | 16 | ||||||
− | + | − | ||||||
− 100 |
| − 68 |
En déduire la production (arrondie à l'article près) pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est ce bénéfice maximal arrondi à l'euro près.
D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle , le bénéfice est maximal pour une production
D'autre part,
Le bénéfice maximal, arrondi à l'euro près, est de 170 € avec une production de 1116 articles.
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