contrôles en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0
.

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée 𝒞f d'une fonction f dérivable sur . On sait que :

  • la droite D est tangente à la courbe 𝒞f au point A(-2;1) ;
  • la courbe 𝒞f admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisse − 1 et 3.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f :

    Le nombre dérivé f(-2) est égal au coefficient directeur de la droite D tangente en A(-2;1) à la courbe 𝒞f. Or la droite D passe par le point de coordonnées (-3;4). Son coefficient directeur est : a=4-1(-3)-(-2)=-3

    Donc :

    • f(-2)=1
    • f(-2)=-3
    • f(-2)>f(0)
  2. L'équation f(x)=0 admet :

    La courbe 𝒞f admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisse − 1 et 3  alors, f(-1)=0 et f(3)=0.

    Par conséquent, l 'équation f(x)=0 admet deux solutions.

    • une solution
    • deux solutions
    • trois solutions
  3. f est définie sur par :

    On a f(-1)=0 et f(3)=0 or 3(x-3)(x2+1)x2-x+19=0x=3 Par conséquent, f(x)3(x-3)(x2+1)x2-x+19.

    D'autre part, les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

    x- − 1 3 +
    Signe de f(x) 0||+0|| 
    f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    Étudions le signe des deux autres fonctions proposées :

    x- − 1 3 +
    Signe de 3(3-x)2(x+1)25 0||+0||+ 
    Signe de 3(3-x)(x+1)x2+4x+9 0||+0|| 

    • f(x)=3(x-3)(x2+1)x2-x+19
    • f(x)=3(3-x)2(x+1)25
    • f(x)=3(3-x)(x+1)x2+4x+9
  4. Soit g la fonction définie sur par g(x)=[f(x)]2. Au point d'abscisse − 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation :

    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point au point d'abscisse − 2 est :y=g(-2)×(x+2)+g(-2)

    Or g(-2)=2×f(-2)×f(-2)=2×1×(-3)=-6etg(-2)=[f(-2)]2=12=1

    D'où y=-6(x+2)+1y=-6x-11

    Au point d'abscisse − 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation :

    • y=9x+19
    • y=-6x+13
    • y=-6x-11

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