Soit f la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
Déterminer et , qu'en déduit-on pour la courbe ?
Ainsi, et alors, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en et en .
On note la dérivée de la fonction f, calculer
La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
Avec u et v fonctions définies sur par :
Donc pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée .
. Or pour tout réel x, , donc le signe de est le même que celui du polynôme du second degré .
Étude du signe du polynôme du second degré avec , et
soit , le polynôme admet deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de ainsi que les variations de f
x | |||||||
+ | − | + | |||||
0 | − 4 | 0 |
Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse − 2.
Une équation de la tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 2 est :
Or
D'où
La tangente T à la courbe au point au point d'abscisse 2 a pour équation .
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