contrôles en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur par f(x)=5-8xx2-x+1. On note 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Déterminer limx-f(x) et limx+f(x), qu'en déduit-on pour la courbe 𝒞f ?

    • limx-5-8xx2-x+1=limx--8xx2=limx--8x=0

    • limx+5-8xx2-x+1=limx+-8xx2=limx+-8x=0

    Ainsi, limx-=0 et limx+=0 alors, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe 𝒞f en - et en +.


  2. On note f la dérivée de la fonction f, calculer f(x)

    La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2

    Avec u et v fonctions définies sur par : u(x)=5-8x d'oùu(x)=-8etv(x)=x2-x+1 d'oùv(x)=2x-1

    Donc pour tout réel x, f(x)=-8×(x2-x+1)-(5-8x)×(2x-1)(x2-x+1)2=-8x2+8x-8-10x+5+16x2-8x(x2-x+1)2=8x2-10x-3(x2-x+1)2

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=8x2-10x-3(x2-x+1)2.


  3. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de f, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée f.

    f(x)=8x2-10x-3(x2-x+1)2. Or pour tout réel x, (x2-x+1)2>0, donc le signe de f(x) est le même que celui du polynôme du second degré 8x2-10x-3.

    Étude du signe du polynôme du second degré 8x2-10x-3 avec a=8, b=-10 et c=-3

    Δ=b2-4ac soit Δ=100-4×8×(-3)=196 , le polynôme admet deux racines : x1=-b-Δ2aetx2=-b+Δ2aSoitx1=10-1416=-14etx2=10+1413=32

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de f ainsi que les variations de f

    x- -14 32 +
    f(x) +0||0||+ 
    f(x)

    0

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    163

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    − 4

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    0


  4. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse − 2.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 2 est : y=f(-2)×(x+2)+f(-2)

    Or f(-2)=8×4-10×(-2)-3(4+2+1)2=1etf(-2)=5-8×(-2)4+2+1=3

    D'où y=x+2+3y=x+5

    La tangente T à la courbe Cf au point au point d'abscisse 2 a pour équation y=x+5.



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