contrôles en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

En France, depuis la loi Evin de 1991, le prix du tabac a été relevé à plusieurs reprises et les achats ont baissé. La tendance à la baisse s'est accentuée sur la période récente, de fortes hausses des prix ayant entraîné une chute des achats en volume de tabac.
Le tableau suivant, donne la consommation et le prix relatif du tabac en France pour les années 2000 à 2007 :

Source INSEE.
Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Prix du tabac $x_{i}$ (Indice base 100 en 2000)	100	103,4	110,1	123,2	150,3	148,5	146,6	148,3
Consommation de tabac $y_{i}$ (en grammes par personne de 15 ans et plus et par jour)	4,5	4,5	4,3	3,8	3,2	3,1	3,1	3

Calculer à 0,01 près, le pourcentage de variation de la consommation du tabac entre 2000 et 2007.
Peut-on dire que la consommation du tabac a baissé en moyenne de 5,6% par an en France entre 2000 et 2007 ?
- Le taux du pourcentage de variation de la consommation du tabac entre 2000 et 2007 est : $\frac{3 - 4,5}{4,5} \times 100 \approx - 33,3$
  Entre 2000 et 2007, la consommation du tabac a diminué de 33 %.
- Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 5,6 % est égal à : $1 - \frac{5,6}{100} = 0,944$
  Le coefficient multiplicateur associé à sept baisses successives de 5,6 % est égal à ${0,944}^{7}$ . Par conséquent, si la consommation du tabac a baissé en moyenne de 5,6% par an en France entre 2000 et 2007 alors en 2007 la consommation du tabac devrait être de : $4,5 \times {0,944}^{7} \approx 3$
  Entre 2000 et 2007, la consommation du tabac a diminué a baissé en moyenne de 5,6% par an.
Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ dans le repère orthogonal ci-dessous
On envisage un ajustement affine du nuage de points.
À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = a x + b$ . (Les coefficients seront arrondis au centième)
Tracer cette droite dans le repère précédent.
Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $y = - 0,03 x + 7,55$
Dans ces questions, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
1. Si à partir de 2007, le prix du tabac augmente de 10 %, à combien de grammes par jour serait ramenée la consommation, en supposant que cet ajustement affine est valable pour les années suivantes.
  L'indice correspondant à une augmentation de 10 % prix du tabac est égal à : $148,3 \times 1,1 = 163,13$
  D'où, en supposant que cet ajustement affine soit valable pour les années suivantes, une consommation de : $- 0,03 \times 163,13 + 7,55 = 2,6561$
  Si à partir de 2007, le prix du tabac augmente de 10 %, la consommation serait ramenée à environ 2,7 grammes par personne et par jour.
2. En utilisant l'ajustement affine trouvé, quel devrait être le pourcentage d'augmentation du prix du tabac pour que la consommation baisse de 16 % à partir de 2007 ?
  Avec une baisse de 16 % à partir de 2007, la consommation sera égale à : $3 \times 0,84 = 2,52$
  D'où, en supposant que cet ajustement affine soit valable pour les années suivantes, l'indice du prix du tabac correspondant est solution de l'équation : $\begin{matrix} - 0,03 x + 7,55 = 2,52 & \Leftrightarrow & x = \frac{2,52 - 7,55}{- 0,03} \approx 167,67 \end{matrix}$
  Soit un taux d'augmentation de : $\frac{167,67 - 148,3}{148,3} \times 100 \approx 13$
  Pour que la consommation baisse de 16 %, il faudrait augmenter le prix du tabac de 13 %.

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