contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 2

1. Recopier et compléter

   1. Si u est une fonction dérivable, ne s'annulant pas sur un intervalle I, la dérivée de la fonction $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ sur I est $f\prime =-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$

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   2. Si u est une fonction dérivable, strictement positive sur un intervalle I, une primitive de la fonction $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ sur I est $F=\ln \left(u\right)$

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2. Applications :

   1. f est la fonction définie sur $\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\ln \left(2x-3\right)}}$. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ , posons $u\left(x\right)=\ln \left(2x-3\right)$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2x-3}}$

      Donc $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ et $f\prime =-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ , $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{2x-3}}}{{\left(\ln \left(2x-3\right)\right)}^2}}& \iff & f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{\left(2x-3\right){\left(\ln \left(2x-3\right)\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{\left(3-2x\right){\left(\ln \left(2x-3\right)\right)}^2}}$

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   2. f est la fonction définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-x-2}}$ . Calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie $F\left(3\right)=0$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)=x^2-x-2$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x-1$

      Étudions le signe du polynôme du second degré $x^2-x-2$ avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-2$

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=1+4\times 2=9$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-3}{2}}=-1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{1+3}{2}}=2\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, donc sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ la fonction u est strictement positive.

      Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u>0$ d'où $F=\ln \left(u\right)$. Les primitives de f sont les fonctions F définies sur $\left]2;+\infty \right[$ par : $$F\left(x\right)=\ln \left(x^2-x-2\right)+c$$

      Or $$\begin{array}{lll}F\left(3\right)=0& \iff & \ln \left(3^2-3-2\right)+c=0\\ & \iff & c=-\ln 4\end{array}$$

      Ainsi, F est la fonction définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\ln \left(x^2-x-2\right)-\ln 4$ soit $F\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{x^2-x-2}{4}}\right)$

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   3. f est la fonction définie sur $\left]-1;1\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{1-x^2}}$. Calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie $F\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\ln \left(4\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)=1-x^2$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$

      Étudions le signe du polynôme du second degré $1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)$. Les racines de ce polynôme sont $x_1=-1$ et $x_2=1$. Donc sur l'intervalle $\left]-1;1\right[$, $1-x^2>0$.

      Sur l'intervalle $\left]-1;1\right[$, nous avons $f=-{\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u>0$ d'où $F=-\ln \left(u\right)$. Les primitives de f sont les fonctions F définies sur $\left]-1;1\right[$ par : $$F\left(x\right)=-\ln \left(1-x^2\right)+c$$

      Or $$\begin{array}{lll}F\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\ln \left(4\right)& \iff & -\ln \left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)+c=\ln \left(4\right)\\ & \iff & c=\ln \left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)+\ln 4\\ & \iff & c=\ln 3\end{array}$$

      Ainsi, F est la fonction définie sur $\left]-1;1\right[$ par $F\left(x\right)=-\ln \left(1-x^2\right)+\ln 3$ soit $F\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{3}{1-x^2}}\right)$

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