contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 3

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

partie a

On considère une fonction g définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=ax-\ln \left(x^2+b\right)$, où a et b sont deux réels.

Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 3.

• La courbe représentative de g passe par l'origine du repère équivaut à $g\left(0\right)=0$. Or $$\begin{array}{ccccc}g\left(0\right)=0& \iff & -\ln b=0& \iff & b=1\end{array}$$

  Ainsi, $g\left(x\right)=ax-\ln \left(x^2+1\right)$.

• La courbe représentative de g admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 3 équivaut à $g\prime \left(3\right)=0$

  Déterminons une expression de la dérivée de la fonction g

  Soit u la fonction définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=x^2+1$ . Sur cet intervalle, la fonction u est dérivable, strictement positive et $u\prime \left(x\right)=2x$.

  Par conséquent, la fonction v définie sur $ℝ$ par $v\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$ est dérivable et $v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$

  Donc la fonction g est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel x, $$g\prime \left(x\right)=a-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$$

  D'où $$\begin{array}{lll}g\prime \left(3\right)=0& \iff & a-{\displaystyle \frac{6}{9+1}}=0\\ & \iff & a={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{5}}x-\ln \left(x^2+1\right)$

---

partie b

1. Calculer la limite de f en $-\infty$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2+1=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln \left(X\right)=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left(x^2+1\right)=+\infty$ d'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }\mathrm{0,6}x-\ln \left(x^2+1\right)=-\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   ---

2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ selon les valeurs du réel x.

   f est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)=\mathrm{0,6}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}{x}^2-2x+\mathrm{0,6}}{x^2+1}}\end{array}$$

   Pour tout réel x, $x^2+1>0$.

   Étudions le signe du polynôme du second degré $\mathrm{0,6}{x}^2-2x+\mathrm{0,6}$ avec $a=\mathrm{0,6}$, $b=-2$ et $c=\mathrm{0,6}$

   $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=4+4\times \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{2,56}$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{2-\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{2+\mathrm{1,6}}{\mathrm{1,2}}}=3\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de la dérivée

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

3. Donner le tableau complet des variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée d'où le tableau des variations de la fonction f

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
   Variations de f	$-\infty$		$\mathrm{0,2}+\ln \mathrm{0,9}$		$\mathrm{1,8}-\ln 10$		$+\infty$

   ---

   extremum

   • $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=\mathrm{0,2}-\ln \left({\displaystyle \frac{1}{9}}+1\right)=\mathrm{0,2}-\ln \left({\displaystyle \frac{10}{9}}\right)=\mathrm{0,2}+\ln \mathrm{0,9}$

   • $f\left(3\right)=\mathrm{1,8}-\ln 10$

4. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right]$

      $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=\mathrm{0,2}+\ln \mathrm{0,9}\approx \mathrm{0,095}$ et $f\left(3\right)=\mathrm{1,8}-\ln 10\approx -\mathrm{0,0503}$

      Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right]$ , la fonction f est continue et strictement décroissante et $f\left(3\right)<0<f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$ , alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right]$.

      ---

   2. Donner un encadrement de α d'amplitude 10^− 2.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $f\left(\mathrm{0,76}\right)>0$ et $f\left(\mathrm{0,77}\right)<0$.

      Donc $\mathrm{0,76}<\alpha <\mathrm{0,77}$.

      ---

   3. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ ?

      Le théorème de la valeur intermédiaire nous permet de conclure que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]$, $\left[{\displaystyle \frac{1}{3}};3\right]$ et $\left[3;+\infty \right[$

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet trois solutions.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.