contrôle du 25 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point.

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1. L'équation $f\left(x\right)=0$ admet :

   f est dérivable sur $ℝ$ donc f est continue sur cet intervalle. Sur chacun des intervalles où f est strictement monotone, déterminons à l'aide du théorème de la valeur intermédiaire l'existence d'une solution unique de l'équation $f\left(x\right)=0$

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;3\right]$, la fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(-1\right)$ donc $-1$ est l'unique solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ sur cet intervalle.

   • Sur l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$, la fonction f est continue, strictement décroissante et $0\in \left]-\infty ;2\right]$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution sur cet intervalle.

   Ainsi, L'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

   A.  une solution

   B.  deux solutions

   C.  trois solutions

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que :

   D'après les variations de la fonction f, nous pouvons déduire le signe de sa dérivée $f\prime$

   x	$-\infty$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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   Il s'ensuit que :

   • $f\prime \left(-2\right)⩾0$ et $f\prime \left(1\right)⩾0$ d'où $f\prime \left(-2\right)\times f\prime \left(1\right)⩾0$
   • $f\prime \left(2\right)⩾0$ et $f\prime \left(5\right)⩽0$ d'où $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(5\right)⩽0$
   • $f\prime \left(4\right)⩽0$ et $f\prime \left(7\right)⩽0$ d'où $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(5\right)⩾0$

   A.  $f\prime \left(-2\right)\times f\prime \left(1\right)⩽0$

   B.  $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(5\right)⩾0$

   C.  $f\prime \left(4\right)\times f\prime \left(7\right)⩾0$

3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T ' sont tangentes à la courbe aux points d'abscisses respectives − 1 et 1.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a.

   Par lecture graphique, nous avons : $$\begin{array}{ccc}f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{0-1}{-1-0}}=1& \text{et}& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ Donc $f\prime \left(-1\right)=2\times f\prime \left(1\right)$

   A.  $f\prime \left(-1\right)=0$

   B.  $f\prime \left(-1\right)=2\times f\prime \left(1\right)$

   C.  $f\prime \left(1\right)=2\times f\prime \left(-1\right)$

4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ . Déterminer laquelle.

   D'après le tableau du signe de la dérivée $f\prime$, seules les courbes $C_1$ et $C_3$ peuvent convenir. Or $f\left(-1\right)=1$. Donc $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée $f\prime$.

   A.  courbe $C_1$	B.  courbe $C_2$	C.  courbe $C_3$

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