contrôles en terminale ES

contrôle du 25 septembre 2010

thèmes abordés

  • Étude d'une fonction : dérivée, variations, théorème de la valeur intermédiaire.
  • Fonctions composées : dérivée.

exercice 1

Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point.


On donne le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur :

x− ∞− 13 + ∞
fx

− ∞

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

2

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− ∞


  1. L'équation fx=0 admet :

     A.  une solution

     B.  deux solutions

     C.  trois solutions

  2. On note f la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que :

     A.  f-2×f10

     B.  f2×f50

     C.  f4×f70

  3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T ' sont tangentes à la courbe aux points d'abscisses respectives − 1 et 1.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

     A.  f-1=0

     B.  f-1=2×f1

     C.  f1=2×f-1

  4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f . Déterminer laquelle.

    A.  courbe C1B.  courbe C2C.  courbe C3
    Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition.

  1. f est définie sur par fx=1x2+x+1

  2. g est définie sur 0+ par gx=1+2x22


exercice 3

partie a

On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle 08 par fx=x23+1 et gx=x327-4x29-x+18

  1. Les courbes représentatives respectives Cf et Cg des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

    Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle 08 l'équation gx=fx.
    Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle 08 par hx=gx-fx.

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction de h sur l'intervalle 08.

    2. Démontrer que l'équation hx=0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle 08.

    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de x0 au centième.

partie b

Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit :

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.

  1. Quel est, exprimé à l'euro près,( arrondi à la centaine d'articles près), le prix unitaire d'équilibre du marché ?

  2. Quel nombre d'articles, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?


exercice 4

  1. Soit u la fonction définie sur l'intervalle 0+ par ux=1+1x. Calculer ux

  2. Soit g une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+. On note g la dérivée de la fonction g. On sait que g2=1 et pour tout réel x>0, gx=x-1x.
    Donner le tableau des variations de la fonction g.

  3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=gux.
    On admet que f est dérivable sur 0+ et on note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f1.

    2. Calculer fx.

    3. La courbe Cf ci-dessous, représente la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
      Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1. La tracer sur le graphique précédent.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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