contrôle du 25 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left]0;8\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{3}}+1$ et $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{27}}-{\displaystyle \frac{4x^2}{9}}-x+18$

1. Les courbes représentatives respectives $C_f$ et $C_g$ des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

   Par lecture graphique, les coordonnées du point d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ sont $E\left(\mathrm{4,5};\mathrm{7,8}\right)$.

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2. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle $\left]0;8\right]$ l'équation $g\left(x\right)=f\left(x\right)$.
   Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle $\left]0;8\right]$ par $h\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$.

   1. Déterminer le sens de variation de la fonction de h sur l'intervalle $\left]0;8\right]$.

      $h\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{27}}-{\displaystyle \frac{4x^2}{9}}-x+18-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}-1={\displaystyle \frac{x^3}{27}}-{\displaystyle \frac{7x^2}{9}}-x+17$

      D'où $h\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{9}}-{\displaystyle \frac{14x}{9}}-1={\displaystyle \frac{x^2-14x-9}{9}}$

      Étudions le signe du polynôme du second degré $x^2-14x-9$ (avec $a=1$, $b=-14$ et $c=-9$) sur l'intervalle $\left]0;8\right]$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=196+36=232\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines :$$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{14-\sqrt{232}}{2}}=7-\sqrt{58}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{14+\sqrt{232}}{2}}=7+\sqrt{58}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $x^2-14x-9$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$7-\sqrt{58}$		$7+\sqrt{58}$		$+\infty$
      Signe de $x^2-14x-9$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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      Par conséquent, sur l'intervalle $\left]0;8\right]$$h\prime \left(x\right)<0$ donc h est strictement décroissante.

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   2. Démontrer que l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $\left]0;8\right]$.

      $h\left(0\right)=17$ et $h\left(8\right)=-{\displaystyle \frac{589}{27}}$

      Sur l'intervalle $\left]0;8\right]$, la fonction h est dérivable donc continue, strictement décroissante et $h\left(8\right)<0<h\left(0\right)$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $h\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $\left]0;8\right]$.

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   3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de $x_0$ au centième.

      L'arrondi de $x_0$ au centième obtenu à la calculatrice est 4,52.

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partie b

1. Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ?

   D'après la question 2c de la parie A, le prix d'équilibre est de 4,52 centaines d'euros soit 452 €.

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2. Quel nombre d'articles,( arrondi à la centaine d'articles près), correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?

   $f\left(\mathrm{4,42}\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{4,42}}^2}{3}}+1\approx \mathrm{7,81}$

   Pour un prix de 452 €, les quantités échangées sont de 7 800 articles.

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