contrôles en terminale ES

contrôle du 25 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère les fonctions f et g définies et dérivables pour tout nombre réel x de l'intervalle 08 par fx=x23+1 et gx=x327-4x29-x+18

  1. Les courbes représentatives respectives Cf et Cg des fonctions f et g, dans un repère orthogonal, sont tracées ci-dessous. Lire avec la précision permise par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.

    Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Par lecture graphique, les coordonnées du point d'intersection des courbes Cf et Cg sont E4,57,8.


  2. Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon plus précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle 08 l'équation gx=fx.
    Pour cela, on considère la fonction h définie sur l'intervalle 08 par hx=gx-fx.

    1. Déterminer le sens de variation de la fonction de h sur l'intervalle 08.

      hx=x327-4x29-x+18-x23-1=x327-7x29-x+17

      D'où hx=x29-14x9-1=x2-14x-99

      Étudions le signe du polynôme du second degré x2-14x-9 (avec a=1, b=-14 et c=-9) sur l'intervalle 08. Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=196+36=232

      Δ>0 donc le polynôme a deux racines :x1=-b-Δ2aSoitx1=14-2322=7-58etx2=-b+Δ2aSoitx2=14+2322=7+58

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de x2-14x-9 suivant les valeurs du réel x :

      x− ∞ 7-58 7+58 + ∞
      Signe de x2-14x-9 +0||0||+ 

      Par conséquent, sur l'intervalle 08hx<0 donc h est strictement décroissante.


    2. Démontrer que l'équation hx=0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle 08.

      h0=17 et h8=-58927

      Sur l'intervalle 08, la fonction h est dérivable donc continue, strictement décroissante et h8<0<h0. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation hx=0 admet une solution unique x0 dans l'intervalle 08.


    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de x0 au centième.

      L'arrondi de x0 au centième obtenu à la calculatrice est 4,52.


partie b

Les fonctions f et g définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit :

  • fx est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de x centaines d'euros;
  • gx la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de x centaines d'euros.

On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.

  1. Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ?

    D'après la question 2c de la parie A, le prix d'équilibre est de 4,52 centaines d'euros soit 452 €.


  2. Quel nombre d'articles,( arrondi à la centaine d'articles près), correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?

    f4,42=4,4223+17,81

    Pour un prix de 452 €, les quantités échangées sont de 7 800 articles.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.