bac blanc du 01 mars 2011

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les Élèves

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. L'ensemble solution de l'équation $\ln \left(x^2\right)-1=0$ est …

   Pour tout réel $x\ne 0$, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(x^2\right)-1=0& \iff & \ln \left(x^2\right)=1\hfill \\ & \iff & \ln \left(x^2\right)=\ln \mathrm{e}\hfill \\ & \iff & x^2=\mathrm{e}\hfill \end{array}$$ Soit $x=-\sqrt{\mathrm{e}}$ ou $x=\sqrt{\mathrm{e}}$

   L'ensemble solution de l'équation $\ln \left(x^2\right)-1=0$ est $S=\left\{-\sqrt{\mathrm{e}};\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$.

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   $S=\left\{-1;1\right\}$

   $S=\left\{-\sqrt{\mathrm{e}};\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$

   $S=\left\{\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$

2. L'ensemble solution de l'équation ${\left(\ln x\right)}^2-1=0$ est …

   Pour tout réel x strictement positif, posons $X=\ln x$ . L'équation s'écrit alors $X^2-1=0$. Soit $X=-1$ ou $X=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}\ln x=-1\iff x={\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}& \text{ou}& \ln x=1\iff x=\mathrm{e}\end{array}$$

   L'ensemble solution de l'équation ${\left(\ln x\right)}^2-1=0$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};\mathrm{e}\right\}$

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   $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};\mathrm{e}\right\}$

   $S=\left\{-\sqrt{\mathrm{e}};\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$

   $S=\left\{\mathrm{e}\right\}$

3. La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$ …

   La fonction logarithme népérien est strictement croissante donc la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$ a les mêmes variations que la fonction polynôme du second degré définie sur $ℝ$ par : $x⟼x^2+1$

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$ d'où $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{2\times 1}{1+1}}=1$

   La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$ vérifie $f\prime \left(1\right)=1$

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   est croissante

   est monotone

   vérifie $f\prime \left(1\right)=1$

4. La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e …

   La fonction logarithme népérien est dérivable et pour tout réel x strictement positif $\ln \prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e est $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\times \left(x-\mathrm{e}\right)+\ln \mathrm{e}& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}-1+1\hfill \\ & \iff & y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e passe par l'origine du repère

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   passe par l'origine du repère

   a pour coefficient directeur 1

   a pour coefficient directeur e

5. La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est la dérivée d'une fonction F définie pour tout réel x strictement positif par …

   Une primitive de la fonction f est la fonction Fdéfinie sur $ℝ$ par $$F\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln \left(x^3\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$

   La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est la dérivée d'une fonction F définie pour tout réel x strictement positif par $F\left(x\right)=\ln \left(x^3\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

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   $F\left(x\right)=3\ln x-\ln \left(x^2\right)$

   $F\left(x\right)=\ln \left(x^3\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   $F\left(x\right)=\ln \left(x^3\right)-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

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