contrôles en terminale ES

bac blanc du 01 mars 2011

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les Élèves

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=ln(x24)+8x-2. Sa courbe représentative notée Cf est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Étudier la limite de f en +.

      limx+x24=+ et limX+lnX=+ alors par composition, limx+ln(x24)=+.
      D'autre part, limx+8x=0 donc par somme, limx+ln(x24)+8x-2=+

      Ainsi, limx+f(x)=+


    2. Montrer que pour tout réel x>0, f(x)=1x×[2xln(x)-2x(1+ln2)+8].
      En déduire que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

      Pour tout réel x>0, ln(x24)+8x-2=ln(x2)-ln4+8x-2=2ln(x)-2ln2+8x-2=2xln(x)x-2xln2x+8x-2xx=1x×[2xln(x)-2x(1+ln2)+8]

      Or limx0+xln(x)=0 d'où limx0+2xln(x)-2x(1+ln2)+8=8

      D'autre part, limx0+1x=+ donc par produit des limites, limx0+1x×[2xln(x)-2x(1+ln2)+8]=+

      Ainsi, limx0f(x)=+ donc l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.


    1. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f(x).

      Pour tout réel x>0, f(x)=ln(u(x))+8x-2 d'où f(x)=u(x)u(x)-8x2

      Avec u(x)=x24 et u(x)=2x4=x2. Soit f(x)=x2x24-8x2=2x-8x2=2x-8x2

      La dérivée f de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-8x2


    2. Étudier les variations de la fonction f. On précisera la valeur exacte du minimum de f.

      Sur l'intervalle ]0;+[ , f(x) est du même signe que 2x-8.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      x0  4 +
      f(x)  0||+ 
      f(x) 

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      ln4

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

      D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour 4 et f(4)=ln(164)+84-2=ln4

  1. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2 et la tracer sur le graphique.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2 est : y=f(2)×(x-2)+f(2)

    Or f(2)=4-84=-1 et f(2)=ln(44)+82-2=2. Donc y=-1×(x-2)+2y=-x+4

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 2 a pour équation y=-x+4.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x)=0.

    f est dérivable sur l'intervalle ]0;+[ donc continue sur cet intervalle. Sur chacun des intervalles où f est strictement monotone, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur intermédiaire :

    • Sur l'intervalle ]0;4[f est strictement décroissante, et f(2)=2 par conséquent, sur cet intervalle, l'équation f(x)=2 admet une solution unique x=2

    • Sur l'intervalle ]4;+[f est strictement croissante, limx+f(x)=+ et f(4)1,4 par conséquent, sur cet intervalle, l'équation f(x)=2 admet une deuxième solution.

    L'équation f(x)=2 admet deux solutions.



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