Soit f la fonction définie sur l'intervalle par . Sa courbe représentative notée est donnée ci-dessous.
Étudier la limite de f en .
et alors par composition, .
D'autre part, donc par somme,
Ainsi,
Montrer que pour tout réel , .
En déduire que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.
Pour tout réel ,
Or d'où
D'autre part, donc par produit des limites,
Ainsi, donc l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.
On note la dérivée de la fonction f. Calculer .
Pour tout réel , d'où
Avec et . Soit
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier les variations de la fonction f. On précisera la valeur exacte du minimum de f.
Sur l'intervalle , est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f
x | 0 | 4 | ||||
− | + | |||||
D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour 4 et
Donner une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 2 et la tracer sur le graphique.
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 2 est :
Or et . Donc
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation .
Donner le nombre de solutions de l'équation .
f est dérivable sur l'intervalle donc continue sur cet intervalle. Sur chacun des intervalles où f est strictement monotone, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur intermédiaire :
Sur l'intervalle f est strictement décroissante, et par conséquent, sur cet intervalle, l'équation admet une solution unique
Sur l'intervalle f est strictement croissante, et par conséquent, sur cet intervalle, l'équation admet une deuxième solution.
L'équation admet deux solutions.
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