contrôle du 26 mars 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x^2-2x+5\right)$ et $C_f$ sa courbe représentative dans le plan.

1. Étudier les limites de la fonction f en $-\infty$ et en $+\infty$.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2-2x+5=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left(x^2-2x+5\right)=+\infty$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2-2x+5=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln X=+\infty$ alors par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x^2-2x+5\right)=+\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. Étudier les variations de la fonction f .

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   • Calcul de la dérivée :

     $f=\ln \left(u\right)$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$

     Avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=x^2-2x+5$ et $u\prime \left(x\right)=2x-2$. Soit $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-2}{x^2-2x+5}}$$

   • Étude du signe de $f\prime \left(x\right)$

     Pour tout réel x, $x^2-2x+5>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $2x-2$

   • Tableau des variations de la fonction f

     x	$-\infty$		1		$+\infty$
     $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $f\left(x\right)$	$+\infty$		$\ln 4$		$+\infty$

     D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour 1 et $$f\left(1\right)=\ln \left(1-2+5\right)=\ln 4$$

   remarque :

   On peut également étudier les variations de la fonction f à l'aide du théorème sur les variations de fonctions composées.

   La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc la fonction f a les mêmes variations que la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $u\left(x\right)=x^2-2x+5$

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3 est : $$\begin{array}{c}y=f\prime \left(3\right)\times \left(x-3\right)+f\left(3\right)\end{array}$$

   Or $f\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{6-2}{9-6+5}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\left(3\right)=\ln \left(8\right)$. Donc $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-3\right)+\ln 8& \iff & y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 8\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 8$.  

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