Soit f la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans le plan.
Étudier les limites de la fonction f en et en .
et alors par composition,
et alors par composition,
Ainsi, et
Étudier les variations de la fonction f .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Calcul de la dérivée :
d'où
Avec pour tout réel x, et . Soit
Étude du signe de
Pour tout réel x, donc est du même signe que
Tableau des variations de la fonction f
x | 1 | ||||
− | + | ||||
D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour 1 et
remarque :
On peut également étudier les variations de la fonction f à l'aide du théorème sur les variations de fonctions composées.
La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle donc la fonction f a les mêmes variations que la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 3 est :
Or et . Donc
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 3 a pour équation .
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