contrôles en terminale ES

contrôle du 26 mars 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur par f(x)=ln(x2-2x+5) et Cf sa courbe représentative dans le plan.

  1. Étudier les limites de la fonction f en - et en +.

    • limx-x2-2x+5=limx-x2=+ et limX+lnX=+ alors par composition, limx-ln(x2-2x+5)=+

    • limx+x2-2x+5=limx+x2=+ et limX+lnX=+ alors par composition, limx+ln(x2-2x+5)=+

    Ainsi, limx-f(x)=+ et limx+f(x)=+


  2. Étudier les variations de la fonction f .

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    • Calcul de la dérivée :

      f=ln(u) d'où f=uu

      Avec pour tout réel x, u(x)=x2-2x+5 et u(x)=2x-2. Soit f(x)=2x-2x2-2x+5

    • Étude du signe de f(x)

      Pour tout réel x, x2-2x+5>0 donc f(x) est du même signe que 2x-2

    • Tableau des variations de la fonction f

      x- 1 +
      f(x) 0||+ 
      f(x)

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      ln4

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

      D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour 1 et f(1)=ln(1-2+5)=ln4

    remarque :

    On peut également étudier les variations de la fonction f à l'aide du théorème sur les variations de fonctions composées.

    La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+[ donc la fonction f a les mêmes variations que la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par u(x)=x2-2x+5

  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 3.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 3 est : y=f(3)×(x-3)+f(3)

    Or f(3)=6-29-6+5=12 et f(3)=ln(8). Donc y=12×(x-3)+ln8y=12x-32+ln8

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 3 a pour équation y=12x-32+ln8.  



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