contrôle du 26 mars 2011

Corrigé de l'exercice 5

1. Déterminer graphiquement une valeur approchée au dixième près de ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$ la courbe $C_f$ est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'aire A exprimée en unités d'aire, du domaine $𝒟$ délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   Graphiquement, l'aire du domaine $𝒟$ est comprise entre l'aire du trapèze ABCD et l'aire du carré ABCD'

   Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{\left(AB+CD\right)\times BC}{2}}<{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{AB}^2& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{\left(1+\mathrm{0,8}\right)\times 1}{2}}<{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<1& \iff & \mathrm{0,9}<{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<1\end{array}$$

   Une valeur approchée au dixième près de ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est 0,9

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left[0;+\infty \right[$ et par F une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre de la fonction F. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   • Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or f admet un maximum en 1 d'où $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ et $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

     $C_1$ est la courbe représentative de la dérivée $f\prime$

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   • Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel $x⩾0$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f. Or $f\left(x\right)⩾0$ donc F est une fonction croissante.

     $C_3$ est la courbe représentative de la fonction F

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3. La fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$. Calculer l'aire, en cm², du domaine délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.

   Pour tout réel $x⩾0$, ${\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}⩾0$. Donc l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine $𝒟$ délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\mathrm{d}x}$.

   Calculons une primitive de la fonction f :

   Pour tout réel $x⩾0$, posons $u\left(x\right)=x^2+1$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$. La fonction f s'écrit sous la forme $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$ avec $u\left(x\right)>0$ d'où une primitive F de la fonction f est définie par $F\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$.
   Soit $F\left(x\right)=\ln \left(x^2+1\right)$

   Ainsi, $$\begin{array}{ccccccc}{\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[\ln \left(x^2+1\right)\right]}_1^2}& =& \ln 5-\ln 2& =& \ln \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\end{array}$$

   L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à $\ln \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ unités d'aire

   Or l'unité d'aire est l'aire d'un carré de 5 cm de côté soit 25 cm²

   L'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est égale à $25\ln \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ cm².

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