contrôles en terminale ES

contrôle du 23 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 5

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :
1. $\frac{1}{e^{2 x + 1}} = e$
  $\begin{matrix} \frac{1}{e^{2 x + 1}} = e & \Leftrightarrow & e^{- 2 x - 1} = e \\ \Leftrightarrow & - 2 x - 1 = 1 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 \end{matrix}$
  L'équation $\frac{1}{e^{2 x + 1}} = e$ a pour solution $x = - 1$
2. $(x - 1) (e^{x} - 1) = 0$
  $\begin{matrix} (x - 1) (e^{x} - 1) = 0 & \Leftrightarrow & x - 1 = 0 & ou & e^{x} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 1 & ou & e^{x} = 1 \\ \Leftrightarrow & x = 1 & ou & x = 0 \end{matrix}$
  L'ensemble des solutions de l'équation $(x - 1) (e^{x} - 1) = 0$ est $S = {0; 1}$
Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :
1. ${(e^{x})}^{2} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$
  $\begin{matrix} {(e^{x})}^{2} \times e^{x^{2}} ⩽ 1 & \Leftrightarrow & e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & e^{x^{2} + 2 x} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2} + 2 x ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x (x + 2) ⩽ 0 \end{matrix}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation ${(e^{x})}^{2} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$ est $S = [- 2; 0]$
2. $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} ⩾ 0$
  Pour tout réel x, $e^{x} > 0$ donc pour tout réel x, le quotient $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ est du même signe que $e^{x} - 1$ . Or $\begin{matrix} e^{x} - 1 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & e^{x} ⩾ 1 & \Leftrightarrow & x ⩾ 0 \end{matrix}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} ⩾ 0$ est $S = [0; + \infty [$

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