contrôles en terminale ES

contrôle du 23 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 6

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f (x) = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}$

On note $f'$ la dérivée de la fonction f.

Calculer $f' (x)$ .
Pour tout réel x, $f' (x) = e^{x} - \frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$
$f'$ est la fonction définie pour tout réel x par $f' (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$

Donner le tableau de variations de f.

Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, $\begin{matrix} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} ⩾ 0 & \Leftrightarrow & e^{x} - e^{- x} ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & e^{x} ⩾ e^{- x} \\ \Leftrightarrow & x ⩾ - x \\ \Leftrightarrow & 2 x ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ 0 \end{matrix}$

D'où le tableau de variations de f :

x	$- \infty$		0		$+ \infty$
$f' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f (x)$			2

En déduire que pour tout réel x, $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$
Le minimum de la fonction f est atteint pour $x = 0$ et $f (0) = e^{0} + \frac{1}{e^{0}} = 2$
Par conséquent, pour tout réel x, $f (x) ⩾ 2$ . Soit pour tout réel x, $\begin{matrix} e^{x} + \frac{1}{e^{x}} ⩾ 2 & \Leftrightarrow & e^{x} + e^{- x} ⩾ 2 \end{matrix}$
Ainsi, pour tout réel x, $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$ .

On note $f ″$ la dérivée seconde de la fonction f.
1. Montrer que pour tout réel x, $f ″ (x) = f (x)$ .
  Pour tout réel x, $f ″ (x) = e^{x} - (- \frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2}}) = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}$
  Ainsi, pour tout réel x, $f ″ (x) = f (x)$ .
2. Étudier la convexité de la fonction f.
  Pour tout réel x, $f (x) ⩾ 2$ donc pour tout réel x, $f ″ (x) > 0$ .
  Pour tout réel x, $f ″ (x) > 0$ donc f est une fonction convexe.

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