contrôle du 23 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 7

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+1\right){\mathrm{e}}^x$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est donnée en ci-dessous.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& \left(2x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right){\mathrm{e}}^x+\left(x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(2x-{\displaystyle \frac{5}{2}}+x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x+1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right){\mathrm{e}}^x$

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ selon les valeurs de x.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré : $x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{1}{4}}+4\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{25}{4}}$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}}{2}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		− 1		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   3. Dresser le tableau des variations de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction :

      x	$-\infty$		− 1		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{9}{2\mathrm{e}}}$		$-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}}{2}}$

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      calcul des extremum :

      • La fonction f admet un maximum relatif en − 1 et $$f\left(-1\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}\times {\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{9}{2\mathrm{e}}}$$

      • La fonction f admet un minimum relatif en ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}}{2}}$$

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
   Tracer la droite T sur le graphique précédent.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1& \text{et}& f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times {\mathrm{e}}^0=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$ D'où $$y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times x+1$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-\mathrm{1,5}x+1$.

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3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=40$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[2;3\right]$.
   À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10^− 2 près de α.

   $f\left(2\right)=\left(4-5+1\right)\times {\mathrm{e}}^2=0$ et $f\left(3\right)=\left(9-{\displaystyle \frac{15}{2}}+1\right)\times {\mathrm{e}}^3={\displaystyle \frac{5{\mathrm{e}}^3}{2}}\approx \mathrm{50,2}$

   Sur l'intervalle $\left[2;3\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(2\right)<40<f\left(3\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

   l'équation $f\left(x\right)=40$ admet une unique solution $\alpha \in \left[2;3\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{2,91}$

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