contrôles en terminale ES

contrôle spécialité du 11 octobre 2015

Sujet A : corrigé de l'exercice 3

On considère les matrices $A = (\begin{array}{r} 7 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array})$ et $I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Déterminer la matrice $A^{2}$ .
$\begin{array}{rcl} A^{2} & = & (\begin{array}{r} 7 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 7 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 49 - 20 & 35 - 15 \\ - 28 + 12 & - 20 + 9 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 29 & 20 \\ - 16 & - 11 \end{array}) \end{array}$
$A^{2} = (\begin{array}{r} 29 & 20 \\ - 16 & - 11 \end{array})$ .
1. Vérifier que $A^{2} - 4 A = I$ .
  $\begin{array}{rcl} A^{2} - 4 A & = & (\begin{array}{r} 29 & 20 \\ - 16 & - 11 \end{array}) - 4 \times (\begin{array}{r} 7 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 29 & 20 \\ - 16 & - 11 \end{array}) - (\begin{array}{r} 28 & 20 \\ - 16 & - 12 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}$
  Ainsi, $A^{2} - 4 A = I$ .
2. En déduire la matrice $A^{- 1}$ , inverse de la matrice A.
  $\begin{array}{rcl} A^{2} - 4 A = I & \Leftrightarrow & (A^{2} - 4 A) \times A^{- 1} = I \times A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A^{2} \times A^{- 1} - 4 A \times A^{- 1} = A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A \times A \times A^{- 1} - 4 I = A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A - 4 I = A^{- 1} \end{array}$
  Soit $A^{- 1} = (\begin{array}{r} 7 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array}) - (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 4 & - 7 \end{matrix})$
  Ainsi, $A^{- 1} = (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 4 & - 7 \end{matrix})$ .

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