contrôles en terminale ES

contrôle spécialité du 11 octobre 2015

Sujet B : corrigé de l'exercice 3

On considère les matrices $A = (\begin{matrix} 5 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ et $I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Déterminer la matrice $A^{2}$ .
$\begin{array}{rcl} A^{2} & = & (\begin{matrix} 5 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) \\ = & (\begin{array}{r} 25 - 9 & - 45 + 18 \\ 5 - 2 & - 9 + 4 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 16 & - 27 \\ 3 & - 5 \end{array}) \end{array}$
$A^{2} = (\begin{array}{r} 16 & - 27 \\ 3 & - 5 \end{array})$ .
1. Vérifier que $A^{2} - 3 A = I$ .
  $\begin{array}{rcl} A^{2} - 3 A & = & (\begin{array}{r} 16 & - 27 \\ 3 & - 5 \end{array}) - 3 \times (\begin{matrix} 5 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) \\ = & (\begin{array}{r} 16 & - 27 \\ 3 & - 5 \end{array}) - (\begin{array}{r} 15 & - 27 \\ 3 & - 6 \end{array}) \\ = & (\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{array}$
  Ainsi, $A^{2} - 3 A = I$ .
2. En déduire la matrice $A^{- 1}$ , inverse de la matrice A.
  $\begin{array}{rcl} A^{2} - 3 A = I & \Leftrightarrow & (A^{2} - 3 A) \times A^{- 1} = I \times A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A^{2} \times A^{- 1} - 3 A \times A^{- 1} = A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A \times A \times A^{- 1} - 3 I = A^{- 1} \\ \Leftrightarrow & A - 3 I = A^{- 1} \end{array}$
  Soit $A^{- 1} = (\begin{matrix} 5 & - 9 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - 9 \\ 1 & - 5 \end{matrix})$
  Ainsi, $A^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & - 9 \\ 1 & - 5 \end{matrix})$ .

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