contrôles en terminale ES

contrôle du 7 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :
1. $(e^{x} + 1) (e^{- x} - 1) = 0$
  Pour tout réel x, $\begin{matrix} (e^{x} + 1) (e^{- x} - 1) = 0 & \Leftrightarrow & e^{x} + 1 = 0 & ou & e^{- x} - 1 = 0 \end{matrix}$
  Comme pour tout réel x, $e^{x} > 0$ , on en déduit que $e^{x} + 1 > 1$ . Donc $\begin{array}{rcl} (e^{x} + 1) (e^{- x} - 1) = 0 & \Leftrightarrow & e^{- x} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow & e^{- x} = 1 \\ \Leftrightarrow & e^{- x} = e^{0} \\ \Leftrightarrow & x = 0 \end{array}$
  L'équation $(e^{x} + 1) (e^{- x} - 1) = 0$ a pour unique solution $x = 0$
2. $e^{1 - 2 x} = \frac{1}{e}$
  Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} e^{1 - 2 x} = \frac{1}{e} & \Leftrightarrow & e^{1 - 2 x} = e^{- 1} \\ \Leftrightarrow & 1 - 2 x = - 1 \\ \Leftrightarrow & x = 1 \end{array}$
  L'équation $e^{1 - 2 x} = \frac{1}{e}$ a pour unique solution $x = 1$
Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :
1. $e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$
  Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1 & \Leftrightarrow & e^{2 x + x^{2}} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & 2 x + x^{2} ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x (x + 2) ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x \in [- 2; 0] \end{array}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{2 x} \times e^{x^{2}} ⩽ 1$ est l'intervalle $S = [- 2; 0]$
2. $\frac{e^{2 x} + 1}{1 - e^{2 x}} ⩾ 0$
  Pour tout réel x, $e^{2 x} + 1 > 1$ donc pour tout réel x, le quotient $\frac{e^{2 x} + 1}{1 - e^{2 x}}$ est du même signe que $1 - e^{2 x}$ . Or $\begin{array}{rcl} 1 - e^{2 x} ⩾ 0 & \Leftrightarrow & - e^{2 x} ⩾ - 1 \\ \Leftrightarrow & e^{2 x} ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & e^{2 x} ⩽ e^{0} \\ \Leftrightarrow & x ⩽ 0 \end{array}$
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{e^{2 x} + 1}{1 - e^{2 x}} ⩾ 0$ est l'intervalle $S =] - \infty; 0]$

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.