contrôle du 7 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-2x}{{\mathrm{e}}^x}}$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. 1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(2x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      Pour tout réel x, $$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-2x}{{\mathrm{e}}^x}}=\left(3-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3-2x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{-x}-\left(3-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(-2-3+2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(2x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(2x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(2x-5\right)$

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}$

      ---

2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[-1;0\right]$.
   Donner la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

   $f\left(-1\right)=5\mathrm{e}$ et $f\left(0\right)=3$. Sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(0\right)<5<f\left(-1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

   l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution $\alpha \in \left[-1;0\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -\mathrm{0,32}$.

   ---

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=3$ et $f\prime \left(0\right)=-5$ d'où :

   La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-5x+3$.

   ---

4. 1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$

      $f\prime$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x-5\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& 2{\mathrm{e}}^{-x}-\left(2x-5\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(2-2x+5\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \\ & =& \left(7-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f″\left(x\right)=\left(7-2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$. Sur $ℝ$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(7-2x\right)$

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{7}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Convexité de f		f est convexe		f est concave

      ---

      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right]$ et concave sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{7}{2}};+\infty \right[$.

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   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{7}{2}}$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse ${\displaystyle \frac{7}{2}}$. D'autre part, $f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,5}}$

      La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées $\left({\displaystyle \frac{7}{2}};-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,5}}\right)$.

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