contrôle du 08 février 2016

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=8\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{16}{x}}-16\ln \left(2\right)$.
Sa courbe représentative, notée $C_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

partie a

1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8\left(x-2\right)}{x^2}}$. où $f\prime$ désigne la dérivée de f.

   Pour tout réel x strictement positif, on a : $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{x}}-{\displaystyle \frac{16}{x^2}}={\displaystyle \frac{8x-16}{x^2}}={\displaystyle \frac{8\left(x-2\right)}{x^2}}$$

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8\left(x-2\right)}{x^2}}$.

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2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Comme pour tout réel x strictement positif, on a $x^2>0$ on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $8\left(x-2\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}8\left(x-2\right)⩾0& \iff & x⩾2\end{array}$$

   Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

   x		0			2		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$					$8-8\ln 2$

partie b

1. Résoudre graphiquement, l'inéquation $f\left(x\right)⩽x$.

   Par lecture graphique, la courbe $C_f$ est en dessous de la droite d'équation $y=x$ sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$

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2. La droite d'équation $y=x$ est tangente à la courbe $C_f$ en un point A d'abscisse a.

   1. Justifier que a est solution de l'équation ${\displaystyle \frac{8\left(a-2\right)}{a^2}}=1$.

      Le coefficient directeur de la tangente à la courbe à la courbe $C_f$ en un point d'abscisse a est égal au nombre dérivé $f\prime \left(a\right)$.

      Comme la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse a est la droite d'équation $y=x$ alors, $f\prime \left(a\right)=1$.

      Ainsi, a est un réel positif solution de de l'équation ${\displaystyle \frac{8\left(a-2\right)}{a^2}}=1$.

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   2. Déterminer la valeur de a.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{8\left(a-2\right)}{a^2}}=1& \iff & {\displaystyle \frac{8\left(a-2\right)}{a^2}}-1=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{8a-16-a^2}{a^2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-{\left(a-4\right)}^2}{a^2}}=0\\ & \iff & a=4\end{array}$$

      La droite d'équation $y=x$ est tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 4.

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3. Étudier la convexité de la fonction f.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   La fonction $f\prime$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$.
   $f\prime ={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f″={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=8\left(x-2\right)\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=8\hfill \\ v\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=2x\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}f″\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{8x^2-8\left(x-2\right)\times 2x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x^2-16x^2+32x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-8x^2+32x}{x^4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{32-8x}{x^3}}\end{array}$$

   Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{8\left(4-x\right)}{x^3}}$.

   Comme pour tout réel x strictement positif, $x^3>0$ on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que $4-x$

   x		0			4		$+\infty$
   Signe de $f″\left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Convexité de f				f est convexe		f est concave

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   La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left]0;4\right]$ et concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$.

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4. Déduire des deux questions précédentes, l'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽x$.

   D'après l'étude de la convexité de la fonction f :

   • la courbe $C_f$admet pour point d'inflexion le point A d'abscisse 4 ;
   • la courbe $C_f$ est situé au dessus de sa tangente en A sur l'intervalle $\left]0;4\right]$ et au dessous de sa tangente en A sur l'intervalle$\left]-\infty ;4\right]$.

   Comme d'autre part, la tangente au point A d'abscisse 4 a pour équation $y=x$, on en déduit que :

   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽x$ est l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$.

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