contrôle du 08 février 2016

Corrigé de l'exercice 2

Pour dynamiser son catalogue disponible sur internet, un industriel décide d'adopter la politique suivante :
À la fin de chaque mois, 12 % des articles référencés sont retirés du catalogue et 60 nouveaux articles sont référencés.
Le 1^er janvier 2016, il y avait 250 articles référencés dans le catalogue.
On modélise le nombre d'articles référencés chaque mois à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel n, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre d'articles référencés dans le catalogue le 1^er jour du n-ième mois après le 1^er janvier 2016. On a ainsi $u_0=250$.

1. Calculer le le nombre d'articles référencés au 1^er février 2016.

   Le 1^er février 2016, 12 % des articles référencés ont été retirés du catalogue et 60 nouveaux articles sont référencés d'où un nombre d'articles référencés au 1^er février 2016 de :$$250\times \left(1-{\displaystyle \frac{12}{100}}\right)+60=280$$

   Au 1^er février 2016, 280 articles sont référencés dans le catalogue.

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2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{0,88}{u}_n+60$.

   Le coefficient multiplicateur associé à la suppression de 12 % des articles du catalogue est $1-{\displaystyle \frac{12}{100}}=\mathrm{0,88}$

   Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=250$ et, pour tout entier naturel n, par : $u_{n+1}=\mathrm{0,88}{u}_n+60$.

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3. On souhaite savoir à quelle date le nombre d'articles référencés sera supérieur à 350.
   On considère l'algorithme suivant :

   variables :	N entier U réel
   initialisation :	N prend la valeur 0 U prend la valeur 250
   traitement :	Tant que $U<350$ U prend la valeur $\mathrm{0,88}\times U+60$ N prend la valeur $N+1$ Fin Tant que
   Sortie :	Afficher N

   1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité :

      Valeur de N	0	1	2	3	4
      Valeur de U	250	280	306	330	350
      Condition $U<350$	Vraie	Vraie	Vraie	Vraie	FAUSSE

   2. À quelle date, le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera-t-il supérieur ou égal à 350 ?

      Au 1^er mai 2016, le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera supérieur ou égal à 350.

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4. Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n=u_n-500$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,88. Préciser son premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-500\hfill \\ & =& \mathrm{0,88}{u}_n+60-500\hfill \\ & =& \mathrm{0,88}{u}_n-440\hfill \\ & =& \mathrm{0,88}\times \left(u_n-500\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,88}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,88}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,85. Le premier terme de cette suite est $v_0=250-500=-250$.

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   2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $u_n=500-250\times {\mathrm{0,88}}^n$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,88 et de premier terme $v_0=-250$ donc pour tout entier naturel n, $v_n=-250\times {\mathrm{0,88}}^n$.

      Pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-500\iff u_n=v_n+500$ donc :

      pour tout entier naturel n, on a $u_n=500-250\times {\mathrm{0,88}}^n$.

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   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat.

      $0<\mathrm{0,88}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,88}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }500-250\times {\mathrm{0,88}}^n=500$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=500$.

      La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 500. À partir d'un certain nombre de mois, le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera proche de 500.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Déterminer la date à laquelle le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera supérieur à 450.

   On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcll}500-250\times {\mathrm{0,88}}^n>450& \iff & -250\times {\mathrm{0,88}}^n>-50& \\ & \iff & {\mathrm{0,88}}^n<\mathrm{0,2}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,88}}^n\right)<\ln \left(\mathrm{0,2}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{0,88}\right)<\ln \left(\mathrm{0,2}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,88}\right)}}& \ln \mathrm{0,88}<0\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,2}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,88}\right)}}\approx \mathrm{12,6}$ alors le plus petit entier n tel que $500-250\times {\mathrm{0,88}}^n>450$ est $n=13$.

   À partir du 1^er février 2017, le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera supérieur à 450.

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