contrôle du 08 février 2016

Corrigé de l'exercice 1

partie a

Une usine produit des articles dont 3 % présentent des défauts. En vue d'un contrôle de qualité, on constitue au hasard un échantillon de 60 articles tirés de la production.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On désigne par X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 60 articles le nombre d'articles défectueux.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=\mathrm{0,03}$.

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2. Déterminer une valeur arrondie à 10^-3 près de chacun des évènements suivants :

   1. « L'échantillon contient au moins un article défectueux » ;

      L'évènement « L'échantillon contient au moins un article défectueux » est l'évènement contraire de « L'échantillon ne contient aucun article défectueux » d'où :$$P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-{\mathrm{0,97}}^{60}\approx \mathrm{0,839}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que l'échantillon contienne au moins un article défectueux est 0,839.

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   2. « L'échantillon contient au plus trois articles défectueux ».

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X⩽3\right)\approx \mathrm{0,894}$.

      Arrondie au millième près, la probabilité que l'échantillon contienne au plus trois articles défectueux est 0,894.

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partie b

1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

   À l'issue du contrôle de qualité :

   • Si un article présente des défauts, on le refuse avec une probabilité de 0,96 d'où $P_D\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,96}$ et $P_D\left(V\right)=1-\mathrm{0,96}=\mathrm{0,04}$.

   • Si un article est sans défaut, on l'accepte avec une probabilité de 0,99 d'où $P_{\stackrel{—}{D}}\left(V\right)=\mathrm{0,99}$ et $P_{\stackrel{—}{D}}\left(\overline{V}\right)=\mathrm{0,01}$.

   D'où l'arbre probabiliste tradisant la situation :

2. 1. Calculer la probabilité qu'un article présente des défauts et soit mis en vente.

      $$\begin{array}{ll}& P\left(D\cap V\right)=P_D\left(V\right)\times P\left(D\right)\\ \text{Soit}& P\left(D\cap V\right)=\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,04}=\mathrm{0,0012}\end{array}$$

      La probabilité qu'un article présente des défauts et soit mis en vente est égale à 0,0012.

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   2. Montrer que la probabilité qu'un article soit mis en vente à l'issue du contrôle de qualité est égale à 0,9615.

      Les évènements D et V sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $$P\left(V\right)=P\left(D\cap V\right)+P\left(\overline{D}\cap V\right)$$

      Avec $$\begin{array}{ll}& P\left(\overline{D}\cap V\right)=P_{\stackrel{—}{D}}\left(V\right)\times P\left(\overline{D}\right)\\ \text{Soit}& P\left(\overline{D}\cap V\right)=\mathrm{0,99}\times \mathrm{0,97}=\mathrm{0,9603}\end{array}$$

      D'où $$P\left(V\right)=\mathrm{0,0012}+\mathrm{0,9603}=\mathrm{0,9615}$$

      La probabilité qu'un article soit mis en vente à l'issue du contrôle de qualité est égale à 0,9615.

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3. La direction de l'usine souhaite que parmi les articles mis en vente il y ait moins de 0,1 % d'articles défectueux.
   Ce contrôle de qualité permet-il d'atteindre cet objectif ?

   $$\begin{array}{lll}{P}_V\left(D\right)={\displaystyle \frac{P\left(D\cap V\right)}{P\left(V\right)}}& \text{Soit}& P_V\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0012}}{\mathrm{0,9615}}}\approx \mathrm{0,00125}\end{array}$$

   Environ 0,125 % des articles mis en vente sont défectueux donc ce contrôle de qualité ne permet d'obtenir l'objectif fixé par la direction.

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