contrôles en terminale ES

bac blanc du 24 mars 2016

Corrigé de l'exercice 1

Une somme de 3000 € a été empruntée auprès d'un organisme de crédit aux conditions suivantes :

des mensualités de remboursement fixes de 150 € ;
un taux d'intérêt mensuel de 1,5 % sur le capital restant dû ;
le capital restant dû peut être remboursé par anticipation.

On modélise les modalités de remboursement de ce prêt à l'aide d'une suite $(u_{n})$ .
Pour tout entier naturel n, le terme $u_{n}$ de la suite est égal au montant du capital restant dû le n-ième mois après la date de l'emprunt.
On a ainsi $u_{0} = 3000$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 1,015 u_{n} - 150$ .

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On veut déterminer le capital restant dû après un certain nombre de mois. On donne ci-dessous deux algorithmes :

Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers		Variables U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers
Entrée Saisir une valeur pour N		Entrée Saisir une valeur pour N
Début traitement U prend la valeur 3000 Pour i de 1 à N faire U prend la valeur $1,015 \times U - 150$ Fin pour Afficher ARRONDI (U, 2) Fin traitement		Début traitement Pour i de 1 à N faire U prend la valeur 3000 U prend la valeur $1,015 \times U - 150$ Fin pour Afficher ARRONDI (U, 2) Fin traitement
algorithme 1		algorithme 2

Dans l'algorithme 1, l'utilisateur saisi la valeur $N = 6$ .
1. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième).
  valeur de i
  XXX 1 2 3 4 5 6
  valeur de U
  3000 2895,00 2788,43 2680,25 2570,46 2459,01 2345,90
2. Pour la valeur $N = 6$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie de cet algorithme ? Comment s'interprète cet affichage ?
  La valeur affichée par cet algorithme est 2345,90. C'est le montant qu'il faut verser pour rembourser le prêt au bout de six mois.
En quoi l'algorithme 2 ne fournit pas la réponse attendue ?
L'algorithme 2 ne convient pas car on réinitialise U à 3000 dans la boucle Pour. Quelle que soit la valeur de N saisie, la valeur calculée de U sera constante et égale à 2895.

partie b

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(v_{n})$ par : $v_{n} = u_{n} - 10000$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 10000 \\ = & 1,015 u_{n} - 150 - 10000 \\ = & 1,015 u_{n} - 10150 \\ = & 1,015 \times (u_{n} - 10000) \\ = & 1,015 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,015 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,015. Le premier terme de cette suite est $v_{0} = 3000 - 10000 = - 7000$ .
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $u_{n} = 10000 - 7000 \times {1,015}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme $v_{0} = - 7000$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 7000 \times {1,015}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 10000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 10000$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 10000 - 7000 \times {1,015}^{n}$ .
1. Déterminer le plus petit entier N solution de l'inéquation $10000 - 7000 \times {1,015}^{n} ⩽ 0$ .
  $\begin{array}{rcll} 10000 - 7000 \times {1,015}^{n} ⩽ 0 & \Leftrightarrow & - 7000 \times {1,015}^{n} ⩽ - 10000 \\ \Leftrightarrow & {1,015}^{n} ⩾ \frac{10}{7} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,015}^{n}) ⩾ \ln (\frac{10}{7}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (1,015) ⩾ \ln (\frac{10}{7}) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (\frac{10}{7})}{\ln (1,015)} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln (\frac{10}{7})}{\ln (1,015)} \approx 23,96$ alors :
  le plus petit entier N solution de l'inéquation $10000 - 7000 \times {1,015}^{n} ⩽ 0$ est $N = 24$ .
2. En déduire la durée de remboursement du prêt de 3000 €.
  Le prêt sera remboursé en 24 mois.
3. Quelle sera le montant de la dernière mensualité ?
  Le montant du capital restant dû au bout de 23 mois est : $10000 - 7000 \times {1,015}^{23} \approx 141,36$
  Soit avec un taux d'intérêt mensuel de 1,5 % sur le capital restant dû, le montant en euros de la 24^e mensualité est : $141,36 \times 1,015 \approx 143,48$
  Le montant de la dernière mensualité est de 143,48 €.
Calculer le montant total des intérêts versés à l'organisme de crédit.
La somme totale versée par l'emprunteur pour rembourser le crédit est : $150 \times 23 + 143,48 = 3593,48$
Le montant des intérêts versés à l'organisme de crédit pour rembouser le prêt sur deux ans est de 593,48 €.

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valeur de i	XXX	1	2	3	4	5	6
valeur de U	3000	2895,00	2788,43	2680,25	2570,46	2459,01	2345,90