bac blanc du 24 mars 2016

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise fabrique un nouvel article. Le coût moyen de fabrication de chaque article est de 15 euros. L'entreprise envisage de vendre chaque article entre 20 euros et 45 euros.
Avant la commercialisation l'entreprise effectue une étude de marché afin de déterminer la quantité demandée en fonction du prix de vente.
L'étude a permis d'établir que, si chaque article est vendu au prix de x euros, la quantité d'articles demandés $f\left(x\right)$, en milliers d'unités, s'exprime par : $f\left(x\right)=\left(20x-200\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.
La fonction de demande f est définie sur l'intervalle $\left[20;45\right]$. La représentation graphique $C_f$ de la fonction f est donnée en annexe ci dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

partie a

1. Si l'entreprise propose un prix de vente de 40 euros :

   1. Calculer le nombre d'articles demandés arrondi à la centaine d'articles près.

      $$f\left(40\right)=\left(20\times 40-200\right)\times {\mathrm{e}}^{-4}=600{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{10,989}$$

      Au prix de vente de 40 euros, la demande est d'environ 11 000 articles.

      ---

   2. Estimer alors le bénéfice réalisé. (On rappelle que le coût moyen de fabrication d'un article est de 15 euros.)

      $$11\times \left(40-15\right)=275$$

      Au prix de vente de 40 euros, le bénéfice que peut espérer l'entreprise est d'environ 275 000 euros.

      ---

2. 1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left[20;45\right]$, $f\prime \left(x\right)=\left(40-2x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[20;45\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=20x-200\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=20\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[20;45\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}+\left(20x-200\right)\times \left(-\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\right)\\ & =& 20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}+\left(-2x+20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\\ & =& \left(20-2x+20\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\\ & =& \left(40-2x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[20;45\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(40-2x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[20;45\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(40-2x\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}40-2x<0& \iff & x>20\end{array}$$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[20;45\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$ donc la fonction f est strictement décroissante.

      ---

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=11$ possède une unique solution α sur l'intervalle $\left[20;45\right]$.

      On a $f\left(20\right)=200{\mathrm{e}}^{-2}\approx 27$ et $f\left(45\right)=700{\mathrm{e}}^{-\mathrm{4,5}}\approx \mathrm{7,8}$.

      Sur l'intervalle $\left[20;45\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(45\right)<11<f\left(20\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

      L'équation $f\left(x\right)=11$ admet une unique solution $\alpha \in \left[20;45\right]$.

      ---

   2. En déduire l'intervalle dans lequel doit se situer le prix de vente d'un article pour que la quantité demandée soit supérieure ou égale à 11000 unités.

      La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[20;45\right]$ et l'équation $f\left(x\right)=11$ possède une unique solution α. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[20;\alpha \right]$ on a $f\left(x\right)⩾11$.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve une valeur approchée par défaut de α au centième près : $\alpha \approx \mathrm{39,98}$.

      La quantité demandée est supérieure ou égale à 11000 unités avec un prix de vente unitaire compris entre 20 € et 39,98 €.

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4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

   1	Dériver$\left[\left(40-2x\right)\cdot \exp \left(-0.1x\right)\right]$
   	$\left({\displaystyle \frac{x}{5}}-6\right)\cdot \exp \left(-0.1x\right)$

   Utiliser ce résultat pour déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$ définie sur l'intervalle $\left[20;45\right]$ par $f″\left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{x}{5}}-6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x}>0$ donc $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left({\displaystyle \frac{x}{5}}-6\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x}{5}}-6⩾0& \iff & x⩾30\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[30;45\right]$, $f″\left(x\right)⩾0$ donc la fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[30;45\right]$.

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partie b

On appelle fonction d'offre la fonction g, définie sur l'intervalle $\left[20;45\right]$, par : $g\left(x\right)=x-18$.
Le nombre $g\left(x\right)$ est le nombre de milliers d'articles que l'entreprise est prête à produire pour un prix de vente unitaire de x euros.

1. Tracer sur la feuille annexe la représentation graphique de la fonction g.

   La courbe représentative d'une fonction affine est une droite. Donc la courbe représentative de la fonction g est le segment de droite d'extrémités les points de coordonnées $\left(20;2\right)$ et $\left(45;27\right)$.

2. On appelle prix d'équilibre le prix unitaire x d'un article pour lequel l'offre est égale à la demande.

   1. Déterminer graphiquement le prix d'équilibre.

      Les courbes représentatives des fonctions d'offre et de demande se coupent au point E de coordonnées $\left(34;16\right)$.

      Par lecture graphique, le prix déquilibe est de 34 euros.

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   2. En déduire une valeur approchée au millier près, du nombre d'articles que l'entreprise peut espérer vendre au prix d'équilibre.

      $$\begin{array}{ccc}g\left(34\right)=34-18=16& \text{ou}& f\left(34\right)=\left(20\times 34-200\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,4}}=480{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3,4}}\approx \mathrm{16,019}\end{array}$$

      Au prix d'équilibre, l'entreprise peut espérer vendre 16 000 articles.

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   3. Estimer alors le bénéfice réalisé.

      $$16\times \left(34-15\right)=304$$

      Au prix d'équilibre, de 34 euros, le bénéfice que peut espérer l'entreprise est d'environ 304 000 euros.

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