bac blanc du 24 mars 2016

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des composants électroniques. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le composant est conforme aux normes en vigueur.

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

   • 97,6 % des composants produits par la machine A sont conformes d'où $P_A\left(C\right)=\mathrm{0,976}$ et $P_A\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,976}=\mathrm{0,024}$.

   • 6,4 % des composants produits par la machine B ne sont pas conformes d'où $P_B\left(\overline{C}\right)=\mathrm{0,064}$ et $P_B\left(C\right)=1-\mathrm{0,064}=\mathrm{0,936}$.

   D'où l'arbre probabiliste tradisant la situation :

2. Calculer la probabilité qu'un composant soit conforme et qu'il provient de la machine B.

   $$\begin{array}{ll}& P\left(C\cap B\right)=P_B\left(C\right)\times P\left(B\right)\\ \text{Soit}& P\left(C\cap B\right)=\mathrm{0,936}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,3744}\end{array}$$

   La probabilité qu'un composant soit conforme et qu'il provient de la machine B est égale à 0,3744.

   ---

3. Démontrer que $P\left(C\right)=\mathrm{0,96}$ et donner une interprétation de ce résultat.

   D'après la formule des probabilités totales : $$P\left(C\right)=P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ll}& P\left(A\cap C\right)=P_A\left(C\right)\times P\left(A\right)\\ \text{Soit}& P\left(A\cap C\right)=\mathrm{0,976}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,5856}\end{array}$$

   D'où $$P\left(C\right)=\mathrm{0,5856}+\mathrm{0,3744}=\mathrm{0,96}$$

   La probabilité qu'un composant prélevé au hasard dans le stock soit conforme est égale à 0,96.

   ---

4. Le composant est conforme. Quelle est la probabilité qu'il ait été produit par la machine B ?

   $$\begin{array}{lll}{P}_C\left(B\right)={\displaystyle \frac{P\left(B\cap C\right)}{P\left(C\right)}}& \text{Soit}& P_C\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3744}}{\mathrm{0,96}}}=\mathrm{0,39}\end{array}$$

   La probabilité qu'un composant conforme ait été produit par la machine B est égale à 0,39.

   ---

partie b

On prélève au hasard 50 composants dans le stock. Ce stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à la répétition de 50 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On désigne par X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 50 composants le nombre de composants non conformes.
On rappelle que la probabilité qu'un composant prélevé au hasard dans le stock soit conforme est égale à 0,96.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable X ? Préciser les paramètres.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=1-\mathrm{0,96}=\mathrm{0,04}$.

   ---

2. Déterminer une valeur arrondie à 10^-3 près de chacun des évènements suivants :

   1. « L'échantillon contient deux composants non conformes » ;

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X=2\right)\approx \mathrm{0,276}$.

      Arrondie au millième près, la probabilité que l'échantillon contienne deux composants non conformes est 0,276.

      ---

   2. « L'échantillon contient au moins deux composants non conformes ».

      $$P\left(X⩾2\right)=1-P\left(X⩽1\right)\approx \mathrm{0,6}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que l'échantillon contienne au moins deux composants non conformes est 0,6.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.