bac blanc du 24 mars 2016

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

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1. Le cours d'une action a augmenté chaque mois de 5 % pendant 2 mois consécutifs. Au terme des deux mois, le cours de l'action :

   Le coefficient multiplicateur associé à deux augmentations successives de 5 % est $${\left(1+{\displaystyle \frac{5}{100}}\right)}^2=\mathrm{1,1025}$$ ce qui correspond à une augmentation 10,25 %.

   a.   a augmenté d'environ 10 %

   b.  a a augmenté d'environ 1,10 %

   c.   a augmenté d'environ 10,25 %

   d.   a été multiplié par 1,10

2. Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-\ln \left(x\right)$, $f\prime$ est la dérivée de la fonction f on a :

   Pour tout réel $x>0$, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x-2}{2x}}$$

   a.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}-x}{x^2}}$

   b.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x-2}{2x}}$

   c.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-x$

   d.   $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

3. On a représenté ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 1. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1 d'où :$$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-0}{0-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   a.   $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b.   $f\prime \left(1\right)=1$

   c.   $f\prime \left(1\right)=-2$

   d.   $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

4. Sur $ℝ$, l'équation $\ln \left(x\right)+2=0$ :

   Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{rcl}\ln \left(x\right)+2=0& \iff & \ln \left(x\right)=-2\\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

   a.   n'a pas de solution

   b.   a pour solution $x=-{\mathrm{e}}^2$

   c.   a pour solution $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   d.   a pour solution $x={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$

5. La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+x^2-{\displaystyle \frac{3x}{2}}$ :

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Pour tout réel x on a :$$\begin{array}{ll}& f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{et}& f″\left(x\right)=-x+2\end{array}$$

   x	− ∞		2		$+\infty$
   Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Convexité de f		f est concave		f est concave

   a.   est convexe

   b.   est concave sur $\left]-\infty ;2\right]$

   c.   change de convexité en 2

   d.   change de convexité en 1 et 3

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