contrôles en terminale ES

contrôle du 7 avril 2016

Sujet A : Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;10] par f(x)=xe-0,2x.

  1. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

     1 fmax(xe-0.2x,x,0,10)
    x=5

    Justifier que le maximum de la fonction f est atteint pour x=5.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    • La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;10], {u(x)=x;u(x)=1v(x)=e-0,2x;v(x)=-0,2e-0,2x

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;10], f(x)=e-0,2x+x×(-0,2e-0,2x)=(1-0,2x)e-0,2x

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par f(x)=(1-0,2x)e-0,2x.

    • Pour tout réel x, e-0,2x>0 donc f(x) est du même signe que (1-0,2x). Or 1-0,2x<0x>5

      D'où le tableau de variation de la fonction f

      x0510
      f(x)+0||
      f(x)

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      5e-1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      10e-2


    Ainsi, le maximum de la fonction f est égal à 5e-1 atteint pour x=5.


    1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle [0;10] par F(x)=(-5x-25)e-0,2x est une primitive de f sur [0;10].

      La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      F=uv d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;10], {u(x)=-5x-25;u(x)=-5v(x)=e-0,2x;v(x)=-0,2e-0,2x

      Soit pour tout réel x de l'intervalle [0;10], F(x)=-5e-0,2x+(-5x-25)×(-0,2e-0,2x)=-5e-0,2x+xe-0,2x+5e-0,2x=xe-0,2x

      Pour tout x[0;10] on a F(x)=f(x) donc F est une primitive de f sur [0;10].


    2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;10].

      Par définition, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;10] est le réel m=110-0×010f(x)dx=110×(F(10)-F(0))=110×(-75e-2+25)

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;10] est égale à 2,5-7,5e-2.



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