Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle par .
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
1 | fmax | |
Justifier que le maximum de la fonction f est atteint pour .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
D'où le tableau de variation de la fonction f
x | 0 | 5 | 10 | ||
+ | − | ||||
0 |
Ainsi, le maximum de la fonction f est égal à atteint pour .
Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de f sur .
La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle ,
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Pour tout on a donc F est une primitive de f sur .
Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle .
Par définition, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est le réel
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est égale à .
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