contrôle du 7 avril 2016

Sujet B : Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

   1	fmax$\left(x{\mathrm{e}}^{-0.5x},x,0,10\right)$
   		$x=2$

   Justifier que le maximum de la fonction f est atteint pour $x=2$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   • La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

     $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\\ & =& \left(1-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

     Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(1-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

   • Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(1-\mathrm{0,5}x\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}1-\mathrm{0,5}x<0& \iff & x>2\end{array}$$

     D'où le tableau de variation de la fonction f

     x	0		2		10
     $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
     $f\left(x\right)$	0		$2{\mathrm{e}}^{-1}$		$10{\mathrm{e}}^{-5}$

     ---

   Ainsi, le maximum de la fonction f est égal à $2{\mathrm{e}}^{-1}$ atteint pour $x=2$.

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2. 1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de f sur $\left[0;10\right]$.

      La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :

      $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-2x-4\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+\left(-2x-4\right)\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\\ & =& -2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\\ & =& x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      Pour tout $x\in \left[0;10\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[0;10\right]$.

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   2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

      Par définition, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ est le réel $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{10-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{10}}\times \left(F\left(10\right)-F\left(0\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{10}}\times \left(-24{\mathrm{e}}^{-5}+4\right)\end{array}$$

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ est égale à $\mathrm{0,4}-\mathrm{2,4}{\mathrm{e}}^{-5}$.

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