contrôle du 16 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Représenter cette situation par un arbre de probabilités.

   • 79,2 % des visiteurs résident en Europe d'où $P\left(E\right)=\mathrm{0,792}$ et $P\left(\overline{E}\right)=1-\mathrm{0,792}=\mathrm{0,208}$.

   • Un tiers des visiteurs résidents européen sont touristes et les trois quarts des résidents non européens sont touristes d'où $P_E\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $P_{\stackrel{—}{E}}\left(T\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   D'où l'arbre probabiliste traduisant la situation :

2. Déterminer la probabilité que le visiteur réside en Europe et soit un touriste.

   $$\begin{array}{ll}& P\left(E\cap T\right)=P_E\left(T\right)\times P\left(E\right)\\ \text{Soit}& P\left(E\cap T\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{0,792}=\mathrm{0,264}\end{array}$$

   La probabilité que le visiteur réside en Europe et soit un touriste est égale à 0,264.

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3. Montrer que la probabilité que le visiteur soit un touriste est égale à 0,42.

   Les évènements E et T sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $$P\left(T\right)=P\left(E\cap T\right)+P\left(\overline{E}\cap T\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ll}& P\left(\overline{E}\cap T\right)=P_{\overline{E}}\left(T\right)\times P\left(\overline{E}\right)\\ \text{Soit}& P\left(\overline{E}\cap T\right)=\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,208}=\mathrm{0,156}\end{array}$$

   D'où $$P\left(T\right)=\mathrm{0,264}+\mathrm{0,156}=\mathrm{0,42}$$

   La probabilité que le visiteur soit un touriste est égale à 0,42.

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4. Le visiteur interrogé est un touriste, calculer la probabilité, arrondie au millième près, que ce touriste réside en Europe.

   $$\begin{array}{lll}{P}_T\left(E\right)={\displaystyle \frac{P\left(E\cap T\right)}{P\left(T\right)}}& \text{Soit}& P_T\left(E\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,264}}{\mathrm{0,42}}}\approx \mathrm{0,629}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité que le touriste réside en Europe est 0,629.

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partie b

Dans cette partie, les résultats seront arrondis si nécessaire au millième près.

L'enquête a permis d'établir que 8,4 % des touristes résident en Amérique.
On a interrogé au hasard trente touristes à leur sortie du territoire métropolitain.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de touristes résidents en Amérique.

1. On considère que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\mathrm{0,084}$.

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2. Donner la probabilité $P\left(X=2\right)$ et interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X=2\right)\approx \mathrm{0,263}$.

   Arrondie au millième près, la probabilité que parmi les touristes interrogés, deux touristes résident en Amérique vaut 0,263.

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3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des touristes interrogés réside en Amérique ?

   $$P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)\approx \mathrm{0,928}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins un des touristes interrogés réside en Amérique est 0,928.

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