contrôles en terminale ES

contrôle du 16 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 2

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 600$ et pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,92 \times u_{n}$ .

Exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $u_{0} = 600$ donc pour tout entier n, $u_{n} = 600 \times {0,92}^{n}$ .
Déterminer le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩽ 150$ .
$\begin{array}{rcll} u_{n} ⩽ 150 & \Leftrightarrow & 600 \times {0,92}^{n} ⩽ 150 \\ \Leftrightarrow & {0,92}^{n} ⩽ 0,25 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,92}^{n}) ⩽ \ln 0,25 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,92 ⩽ \ln 0,25 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,25}{\ln 0,92} & \ln 0,92 < 0 \end{array}$
Comme $\frac{\ln 0,25}{\ln 0,92} \approx 16,6$ , on en déduit que le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩽ 150$ est $n = 17$ .

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