Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par .
Calculer , où est la dérivée de la fonction f.
La fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables sur :
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Or pour tout réel x strictement positif on a :
Par conséquent, sur l'intervalle , est du même signe que . D'où le tableau de variation de la fonction f :
x | 0 | ||||||
− | + | ||||||
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 est :
Or et d'où :
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation .
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde .
La fonction est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables sur :
Comme pour tout réel x non nul on a : , on en déduit que .
La dérivée seconde est strictement positive donc la fonction f est convexe.
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