contrôles en terminale ES

contrôle du 16 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=x22-2ln(x).

  1. Calculer f(x), où f est la dérivée de la fonction f.

    La fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables sur ]0;+[ : f(x)=12×(2x)-2×1x=x-2x

    f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=x-2x.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Or pour tout réel x strictement positif on a : f(x)=x-2x=x2-2x

    Par conséquent, sur l'intervalle ]0;+[, f(x) est du même signe que x2-2. D'où le tableau de variation de la fonction f :

    x02+
    f(x)0||+
    f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1-ln2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 est :y=f(1)×(x-1)+f(1)

    Or f(1)=12 et f(1)=-1 d'où :y=-1×(x-1)+12y=-x+32

    La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation y=-x+32.


  4. Étudier la convexité de la fonction f.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f.

    La fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables sur ]0;+[ : f(x)=1+2x2

    Comme pour tout réel x non nul on a : 2x2>0, on en déduit que f(x)1.

    La dérivée seconde est strictement positive donc la fonction f est convexe.



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