cours terminale ES enseignement de spécialité

Graphes probabilistes

I - Définitions

1 - graphe probabiliste

Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré (sans arêtes parallèles) dans lequel la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à 1.

Les graphes probabilistes sont utilisés pour modéliser l'évolution d'un système pouvant changer aléatoirement d'état :

les sommets du graphe sont les états possibles du système ;
le poids d'une arête orientée issue du sommet i et d'extrémité j est la probabilité conditionnelle de la réalisation de l'évènement j à l'étape $n + 1$ sachant que l'évènement i est réalisé à l'étape n.

exemple

Étude du marché du travail de la population (15-65 ans) d’un pays ﬁctif.
En 2016, 69 % de la population occupe un emploi, 6 % de la population est au chômage.
Les transitions entre l'emploi, le chômage et l'inactivité sur le marché du travail de ce pays les années précédentes sont données, en pourcentage, dans le tableau suivant :

		Année $n + 1$
		Emploi	Chômage	Inactif
Année n	Emploi	90	3	7
	Chômage	30	43	27
	Inactif	14	7	79
	Lecture : 90 % des personnes ayant occupé un emploi l'année n occupent un emploi l'anné $n + 1$

Notons respectivement E, C et I les trois états emploi chômage et inactivité. Le graphe probabiliste associé est :

2 - matrice de transition

La matrice de transition associée à un graphe probabiliste d'ordre k est la matrice carrée $M = (m_{i, j})$ d'ordre k telle que, pour tous entiers i et j vérifiant $1 ⩽ i ⩽ k$ et $1 ⩽ j ⩽ k$ , le terme $m_{i, j}$ est égal au poids de l'arête orientée d'origine le sommet i et d'extrémité le sommet j si cette arête existe, et est égal à 0 sinon.

Tous les coefficients sont positifs ou nuls, et pour chaque ligne la somme des coefficients est égale à 1.
Cette matrice décrit le passage d'un état au suivant. Le coefficient $m_{i, j}$ est la probabilité conditionnelle d'être dans l'état j à l'instant $n + 1$ sachant que l'on est dans l'état i à l'instant n.

exemple

La matrice de transition M du graphe précédent est : $M = (\begin{matrix} 0,90 & 0,03 & 0,07 \\ 0,30 & 0,43 & 0,27 \\ 0,14 & 0,07 & 0,79 \end{matrix})$

3 - état probabiliste

Un état probabiliste est une loi de probabilité sur l'ensemble des états possibles.
Cette loi est représentée par une matrice ligne telle que la somme des termes est égale à 1.

exemple

Dans l'exemple précédent, en 2016, 69 % de la population occupe un emploi, 6 % de la population est au chômage.

Notons $P_{0}$ l'état probabiliste initial de l'année 2016 : $P_{0} = (\begin{matrix} 0,69 & 0,06 & 0,25 \end{matrix})$

II - Évolution d'un état au cours du temps

Étudions l'évolution au cours du temps du système à trois états (emploi, chômage, inactif) du marché du travail :

L'arbre de probabilité traduisant la situation est :

Soit $P_{n} = (\begin{matrix} e_{n} & c_{n} & i_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste du système l'année $2016 + n$ . D'après la formule des probabilités totales, l'année $n + 1$ :

$e_{n + 1} = e_{n} \times 0,90 + c_{n} \times 0,30 + i_{n} \times 0,14$
$c_{n + 1} = e_{n} \times 0,03 + c_{n} \times 0,43 + i_{n} \times 0,27$
$i_{n + 1} = e_{n} \times 0,14 + c_{n} \times 0,07 + i_{n} \times 0,79$

L'état probabiliste du système l'année $n + 1$ est : $P_{n + 1} = (\begin{matrix} e_{n} \times 0,90 + c_{n} \times 0,30 + i_{n} \times 0,14 & e_{n} \times 0,03 + c_{n} \times 0,43 + i_{n} \times 0,27 & e_{n} \times 0,14 + c_{n} \times 0,07 + i_{n} \times 0,79 \end{matrix})$ Soit $P_{n + 1} = (\begin{matrix} e_{n} & c_{n} & i_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,90 & 0,03 & 0,07 \\ 0,30 & 0,43 & 0,27 \\ 0,14 & 0,07 & 0,79 \end{matrix})$

1 - propostion

On considère un système qui peut se trouver dans k états 1, 2, ⋯, k avec une certaine probabilité et on étudie l'évolution de ce système au cours du temps.

Soit $P_{n} = (\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{k} \end{matrix})$ l'état probabiliste du système à l'instant n, M la matrice de transition et $P_{n + 1}$ l'état probabiliste du système à l'instant $n + 1$ . Alors, pour tout entier n, on a $P_{n + 1} = P_{n} M$

exemple

Avec les données de l'exemple étudié, notons $P_{n}$ l'état probabiliste du marché du travail l'année 2017 est : $P_{1} = (\begin{matrix} 0,69 & 0,06 & 0,25 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,90 & 0,03 & 0,07 \\ 0,30 & 0,43 & 0,27 \\ 0,14 & 0,07 & 0,79 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,674 & 0,064 & 0,262 \end{matrix})$

En 2017 6,4 % de la population était au chômage.

2 - théorème

Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre p, si $P_{0}$ est la matrice ligne décrivant l'état initial et $P_{n}$ l'état probabiliste à l'étape n, on a $P_{n} = P_{0} \times M^{n}$ .

exemple

Calculons l'état probabiliste du marché du travail prévisible en 2020 : $P_{4} = (\begin{matrix} 0,69 & 0,06 & 0,25 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,90 & 0,03 & 0,07 \\ 0,30 & 0,43 & 0,27 \\ 0,14 & 0,07 & 0,79 \end{matrix})}^{4} \approx (\begin{matrix} 0,648 & 0,068 & 0,284 \end{matrix})$

En supposant qu'il n'y ait pas de changement sur les transitions dans le marché du travail, en 2020 environ 6,8 % de la population (15-65 ans) de ce pays serait au chômage.

3 - état stable

Un état stable d'un graphe probabiliste de matrice de transition M est un état P tel que $P = P M$ .

exemple

Déterminons l'état stable P du système emploi, chômage et inactivité sur le marché du travail de ce pays.

Soit $P = (\begin{matrix} e & c & i \end{matrix})$ l'état stable. Nous avons : $\begin{array}{rcl} P = P M & ⟺ & (\begin{matrix} e & c & i \end{matrix}) = (\begin{matrix} e & c & i \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,90 & 0,03 & 0,07 \\ 0,30 & 0,43 & 0,27 \\ 0,14 & 0,07 & 0,79 \end{matrix}) \\ ⟺ & (\begin{matrix} e & c & i \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 e + 0,3 c + 0,14 i & 0,03 e + 0,43 c + 0,07 i & 0,07 e + 0,27 c + 0,79 i \end{matrix}) \end{array}$

Or P est un état probabiliste d'où $e + c + i = 1$ . Par conséquent e, c et i sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{cases} 0,9 e + 0,3 c + 0,14 i = e \\ 0,03 e + 0,43 c + 0,07 i = c \\ 0,07 e + 0,27 c + 0,79 i = i \\ e + c + i = 1 \end{cases} & ⟺ & {\begin{cases} - 0,1 e + 0,3 c + 0,14 i = 0 \\ 0,03 e - 0,57 c + 0,07 i = 0 \\ 0,07 e + 0,27 c - 0,21 i = 0 L_{3} = - (L_{1} + L_{2}) \\ e + c + i = 1 \end{cases} \\ ⟺ & {\begin{cases} - 0,1 e + 0,3 c + 0,14 i = 0 \\ 0,03 e - 0,57 c + 0,07 i = 0 \\ e + c + i = 1 \end{cases} \\ ⟺ & {\begin{cases} 0,4 c + 0,24 i = 0,1 \\ 0,6 c - 0,04 i = 0,03 \\ e + c + i = 1 \end{cases} \\ ⟺ & {\begin{cases} e + c + i = 1 \\ 0,4 c + 0,24 i = 0,1 \\ 0,8 i = 0,24 \end{cases} \\ ⟺ & {\begin{cases} e = 0,63 \\ c = 0,07 \\ i = 0,30 \end{cases} \end{array}$

L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,63 & 0,07 & 0,30 \end{matrix})$ . En supposant qu'il n'y ait pas de changement sur le marché du travail, sur le long terme environ 7 % de la population (15-65 ans) serait au chômage.

remarque

Le taux de chômage est le rapport entre le chômage et la population active (emploi+chômage) soit : $t = \frac{0,07}{0,63 + 0,07} = 0,1$ Sur le long terme, le taux du chômage se stabilise à 10 %

4 - propriété

Pour tout graphe probabiliste d'ordre 2, dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0, l'état probabiliste $P_{n}$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial $P_{0}$ .

exemple

Un industriel décide de modifier l'emballage d'un de ses produits. On note A le conditionnement actuel du produit et B le nouveau conditionnement.
À partir des études réalisées au préalable, la direction commerciale estime que 28 % des consommateurs choisissant le conditionnement A et 12 % des consommateurs choisissant le conditionnement B changeront d'avis d'un mois sur l'autre.
Pour tout entier naturel n, on note $a_{n}$ et $b_{n}$ les probabilités qu'un consommateur choisisse respectivement le conditionnement A et le conditionnement B le n-ième mois après la mise sur le marché du conditionnement B et $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième mois après la mise sur le marché du nouveau conditionnement. Ainsi, $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. Donner la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
On estime que d'un mois sur l'autre :
- 28 % des consommateurs choisissant le conditionnement A changent d'avis d'où $P_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,28$ et $P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,28 = 0,72$ .
- 12 % des consommateurs choisissant le conditionnement B changent d'avis d'où $P_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,12$ et $P_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,12 = 0,88$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
La matrice de transition M de ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix})$ .
On note $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe. Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,72 a + 0,12 b & 0,28 a + 0,88 b \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit : $\begin{matrix} {\begin{matrix} a = 0,72 a + 0,12 b \\ b = 0,28 a + 0,88 b \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,28 a - 0,12 b = 0 \\ - 0,28 a + 0,12 b = 0 \end{matrix} \end{matrix}$
Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,28 a - 0,12 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a + b & = & 1 \\ 0,4 a & = & 0,12 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a = 0,3 \\ b = 0,7 \end{array} \end{matrix}$
L'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix})$ . À partir d'un certain temps, tous les mois 30 % environ des consommateurs choisiront le conditionnement A et 70 % le conditionnement B.
L'industriel décide de ne plus proposer le conditionnement A à partir du mois où il prévoit que moins de 32 % des consommateurs choisiront ce conditionnement.
1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,12$ .
  Pour tout entier naturel n non nul : $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \\ 0,12 & 0,88 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,72 a_{n} + 0,12 b_{n} & 0,28 a_{n} + 0,88 b_{n} \end{matrix})$
  Soit $a_{n + 1} = 0,72 a_{n} + 0,12 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où tout entier naturel n non nul, $a_{n + 1} = 0,72 a_{n} + 0,12 \times (1 - a_{n}) = 0,6 a_{n} + 0,12$
  Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,12$ .
2. Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = a_{n} - 0,3$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique . En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $a_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,3 \\ = & 0,6 a_{n} + 0,12 - 0,3 \\ = & 0,6 a_{n} - 0,18 \\ = & 0,6 \times (a_{n} - 0,3) \\ = & 0,6 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,6 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6. Le premier terme de cette suite est $u_{0} = a_{0} - 0,3$ soit $u_{0} = 1 - 0,3 = 0,7$ .
  Par conséquent, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n}$ . Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,3 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,3$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3$ .
3. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32$ . En déduire au bout de combien de mois, le conditionnement A sera retiré du marché.
  $\begin{array}{rcll} 0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32 & \Leftrightarrow & 0,7 \times {0,6}^{n} ⩽ 0,02 \\ \Leftrightarrow & {0,6}^{n} ⩽ \frac{0,02}{0,7} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,6}^{n}) ⩽ \ln (\frac{0,02}{0,7}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,6) ⩽ - \ln 35 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ - \frac{\ln 35}{\ln 0,6} & \ln 0,6 < 0 \end{array}$
  Comme $- \frac{\ln 35}{\ln 0,6} \approx 6,96$ alors, l'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $0,7 \times {0,6}^{n} + 0,3 ⩽ 0,32$ sont les entiers $n ⩾ 7$ .
  Le conditionnement A sera retiré du marché au bout de sept mois.

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