cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Dérivation Continuité Convexité

I - Dérivées

1 - nombre dérivé

définition

Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux de variation fa+h-fah admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de f au point a. On le note fa. fa=limh0fa+h-fah

2 - Tangente à une courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.

Nombre dérivé et tangente : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0.

La droite passant par le point Aafa de la courbe 𝒞f et de coefficient directeur fa est la tangente à la courbe 𝒞f au point d'abscisse a.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.
L'équation réduite de la tangente à la courbe 𝒞f au point a d'abscisse a est : y=fa×x-a+fa

3 - Dérivées des fonctions de référence

f définie sur …fxfxf dérivable sur …
k0
ax+ba
xnnxn-1 pour tout entier n2
*1x-1x2*
*1xn-nxn+1* pour tout entier n1
0+x12x0+
exex
0+lnx1x0+

4 - Dérivées et opérations

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :

u+v=u+v

ku=ku

uv=uv+uv

u2=2uu

Si n est un entier non nul un=nun-1u

Si la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I (vx0 sur I)

1v=-vv2uv=uv-uvv2

5 - Dérivée et variations d'une fonction

Théorème 1

Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de .

  • Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, fx=0.
  • Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, fx0.
  • Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, fx0.

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

Théorème 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de et f la dérivée de f sur I.

  • Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I.
  • Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Théorème 3

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de et x0 un réel appartenant à I.

  • Si f admet un extremum local en x0, alors fx0=0.
  • Si la dérivée f s'annule en x0en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
xax0bxax0b
fx0||+fx+0||
fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

minimum

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

maximum

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

remarques

  1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse en changeant de signe est importante.

    Fonction cube : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Considérons la fonction cube définie sur par fx=x3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur par fx=3x2.

    fx0=0 et, pour tout réel x non nul, fx0>0.

    La fonction cube est strictement croissante sur et n'admet pas d'extremum en 0.


  2. Une fonction peut admettre un extremum local en x0 sans être nécessairement dérivable.

    Fonction valeur absolue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Considérons la fonction valeur absolue f définie sur par fx=x.

    f est définie sur par : fx={xsi x0-xsi x<0.

    f admet un minimum f0=0 or la fonction f n'est pas dérivable en 0.


Étude d'un exemple

Soit f la fonction définie sur par fx=1-4x-3x2+1.

  1. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer fx.

    Pour tout réel x, x2+11. Par conséquent, sur f est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables. f=1-uv d'où f=0-uv-uvv2 avec pour tout réel x : {ux=4x-3d'oùux=4 et vx=x2+1 d'où vx=2x

    Soit pour tout réel x, fx=-4×x2+1-4x-3×2xx2+12=-4x2+4-8x2+6xx2+12=4x2-6x-4x2+12

    Ainsi, f est la fonction définie sur par fx=4x2-6x-4x2+12.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de fx=4x2-6x-4x2+12 :

    Pour tout réel x, x2+12>0. Par conséquent, fx est du même signe que le polynôme du second degré 4x2-6x-4 avec a=4, b=-6 et b=-4.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=-62-4×4×-4=100=102

    Comme Δ>0, le trinôme a deux racines : x1=-b-Δ2asoitx1=6-108=-12etx2=-b+Δ2asoitx2=6+108=4

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
    Nous pouvons déduire le tableau du signe de fx suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :

    x--0,50+
    fx+0||0||+
    fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    5

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