La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et pour tout réel x, .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel , l'équation admet une unique solution, c'est à dire que :
pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel α tel que .
On définit une nouvelle fonction appelée logarithme népérien qui à tout réel strictement positif, associe son unique antécédent par la fonction exponentielle.
On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation .
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur qui à tout réel x strictement positif, associe le réel y tel que .
remarques
démonstrations
Pour tout réel , . Soit .
Pour tout réel x, . Soit .
exemples
; ; ; .
La fonction ln est strictement croissante sur .
démonstration
Soient a et b deux réels tels que . Par définition de la fonction logarithme népérien : et . D'où, .
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on en déduit que si alors, .
Pour tous réels a et b strictement positifs :
exemples
Résoudre dans l'inéquation .
Pour tout réel x,
L'ensemble solution de l'inéquation est .
Étudier les variations de la fonction f définie sur par .
La fonction f est dérivable et pour tout réel x, .
On a donc :
Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations de f :
x | |||||
− | + | ||||
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