cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Fonction logarithme

I - Fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue, strictement croissante et pour tout réel x, ex0+.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a>0, l'équation ex=a admet une unique solution, c'est à dire que :

pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel α tel que eα=a.

On définit une nouvelle fonction appelée logarithme népérien qui à tout réel strictement positif, associe son unique antécédent par la fonction exponentielle.
On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

1 - Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur 0+ qui à tout réel x strictement positif, associe le réel y tel que ey=x.x>0 et y=lnxéquivaut àx=ey

remarques

2 - Conséquences immédiates

  1. Pour tout réel x strictement positif, elnx=x.
  2. Pour tout réel x, lnex=x.
  3. Pour tout réel a>0, l'équation ex=a a pour unique solution x=lna.

démonstrations

  1. Pour tout réel x>0, y=lnxey=x. Soit elnx=x.

  2. Pour tout réel x, ex=yx=lny. Soit lnex=x.

exemples

eln5=5 ;  e-ln0,1=1eln0,1=10,1=10 ;  lne=lne0,5=0,5 ;  ln1e=lne-1=-1.

3 - Variation

La fonction ln est strictement croissante sur 0+.

démonstration

Soient a et b deux réels tels que 0<a<b. Par définition de la fonction logarithme népérien : a=elna et b=elnb. D'où, elna<elnb.

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on en déduit que si 0<a<b alors, lna<lnb.

conséquences

Pour tous réels a et b strictement positifs :

  • lna=lnb si, et seulement si, a=b
  • lna>lnb si, et seulement si, a>b

exemples

  1. Résoudre dans l'inéquation 4e1-2x-30.

    Pour tout réel x, 4e1-2x-30e1-2x34lne1-2xln341-2xln0,75-2xln0,75-1x1-ln0,752

    L'ensemble solution de l'inéquation 4e1-2x-30 est S=1-ln0,752+.


  2. Étudier les variations de la fonction f définie sur par fx=ex-2x.

    La fonction f est dérivable et pour tout réel x, fx=ex-2.

    On a donc : fx=0ex-2=0ex=2x=ln2etfx<0ex-2<0ex<2x<ln2

    Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations de f :

    x-ln2+
    fx0||+
    fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2-2ln2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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