cours terminale ES obligatoire et L spécialité

compléments sur les suites

I - Suites géométriques

1 - définition

Dire qu'une suite un est géométrique signifie qu'il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier naturel n, un+1=qun Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique.

Évolution en pourcentage

Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de t %, on peut modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison 1+t100 (augmentation) ou 1-t100 (diminution)

exemples

  1. Un capital de 2 000 € est placé au taux d'intérêt composé de 1 % par an.

    Notons Cn le capital disponible au bout de n années alors : Cn+1=Cn×1+1100=1,001×Cn Ainsi, la suite Cn est une suite géométrique de premier terme C0=2000 et de raison q=1,001.

  2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4 % par an. En 2016, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes.

    Notons rn la quantité de rejets l'année 2016+n d'où : rn+1=rn×1-4100=0,96×rn Ainsi, la suite rn est une suite géométrique de premier terme r0=50000 et de raison 0,96.

2 - Propriété 1

Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 alors pour tout entier naturel n, un=u0×qn

exemple

L'objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40 %). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?

Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r10=50000×0,961033242

Avec un réduction de 4 % par an, en 2026 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

3 - Propriété 2

Si un une suite géométrique de raison q alors pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p, un=up×qn-p

4 - Monotonie

rappel : La monotonie d'une suite un se déduit du signe de un+1-un.

Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 donc : un+1-un=u0×qn+1-u0×qn=u0×qn×q-1

La monotonie de la suite géométrique un dépend du signe de u0, qn et q-1 :

Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants :

théorème 1

Soit q un réel non nul.

  • Si q<0 alors la suite qn n'est pas monotone.
  • Si 0<q<1 alors la suite qn est strictement décroissante.
  • Si q=1 alors la suite qn est constante.
  • Si q>1 alors la suite qn est strictement croissante.

théorème 2

Soit un une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u0 non nul

  • Si q<0 alors la suite un n'est pas monotone.
  • Si q>0 et u0<0 alors la suite un a le sens de variation contraire de celui de la suite qn.
  • Si q>0 et u0>0 alors la suite un a le même sens de variation que la suite qn.

exemple

Soit un la suite définie par u0=1600 et pour tout entier naturel n, un+1=0,94×un

  1. Calculer la valeur, arrondie au centième près, de u5

  2. Étudier la monotonie de la suite un.

  1. un est une suite géométrique de premier terme u0=1600 et de raison q=0,94 alors, pour tout entier naturel n, un=1600×0,94n. D'où u5=1600×0,9451174,25

  2. Pour tout entier naturel n,un+1-un=1600×0,94n+1-1600×0,94n=1600×0,94n×0,94-1=-96×0,94n

    Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1-un<0 donc la suite un est strictement décroissante.


5 - Somme de termes consécutifs

Soit un une suite géométrique de raison q1 et de premier terme u0 alors pour tout entier naturel n, u0+u1++un=i=0nui=u0×1-qn+11-q

Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q1 est : S=premier terme×1-qnombre de termes1-q

exemple

Reprenons l'exemple du groupe industriel qui réduit sa quantité de rejets de 4 % par an et, calculons la masse totale, à une tonne près, des rejets émis sur l'ensemble des années 2016 à 2020.

On modélise la situation par la suite géométrique rn de premier terme r0=50000 et de raison q=0,96 où, le terme rn est la masse, exprimée en tonnes, des rejets émis l'année 2016+n.

La masse totale des rejets émis pendant les années 2016 à 2020 est :R=50000×1-0,9651-0,96230784

Pendant les cinq années (2016 à 2020), la masse totale des rejets a été de 230 784 tonnes.


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