cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Fonction exponentielle

Introduction

construction expérimentale de la fonction f:xqx, avec q>0

Soit q>0 un réel strictement positif. un est la suite géométrique définie pour tout entier n par un=qn.

un est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0=1.

Pour tous entiers naturels m et p, on a : um×up=qm×qp=qm+p=um+p

On considère le nuage de points Mi représentatif de la suite géométrique définie pour tout entier n par un=qn.

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étape 1 : Prolongement sur les négatifs.

Sachant que pour tout réel q>0 et pour tout entier n, q-n=1qn, on complète le graphique à l'aide de la suite géométrique de premier terme u0=1 et de raison 1q. On définit ainsi, une fonction f telle que pour tout entier relatif n, fn=qn.

Pour tous entiers relatifs m et p : fm×fp=qm×qp=qm+p=fm+p

étape 2 : Prolongement par dichotomie.

Propriété

Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique si, et seulement si, b=ac est la moyenne géométrique de a et c.

Points d'abscisses n+0,5 avec n.

Au point d'abscisse n+0,5=n+n+12 on associe la moyenne géométrique des deux termes consécutifs :fn+0,5=fn×fn+1=qn×qn+1

Soit pour tout entier relatif n :fn+0,5=qn+n+12=qn×q0,5=fn×f0,5

étape 3 : On obtient de nouveaux points en réitérant le processus de prolongement par dichotomie.


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