Fonction exponentielle

Introduction

construction expérimentale de la fonction $f:x\mapsto q^x$, avec $q>0$

Soit $q>0$ un réel strictement positif. $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique définie pour tout entier n par $u_n=q^n$.

$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison q et de premier terme $u_0=1$.

Pour tous entiers naturels m et p, on a : $$u_m\times u_p=q^m\times q^p=q^{m+p}=u_{m+p}$$

On considère le nuage de points $M_i$ représentatif de la suite géométrique définie pour tout entier n par $u_n=q^n$.

étape 1 : Prolongement sur les négatifs.

Sachant que pour tout réel $q>0$ et pour tout entier n, $q^{-n}={\displaystyle \frac{1}{q^n}}$, on complète le graphique à l'aide de la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison ${\displaystyle \frac{1}{q}}$. On définit ainsi, une fonction f telle que pour tout entier relatif n, $f\left(n\right)=q^n$.

Pour tous entiers relatifs m et p : $$f\left(m\right)\times f\left(p\right)=q^m\times q^p=q^{m+p}=f\left(m+p\right)$$

étape 2 : Prolongement par dichotomie.

Propriété

Trois réels a, b et c sont, dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique si, et seulement si, $b=\sqrt{ac}$ est la moyenne géométrique de a et c.

Points d'abscisses $n+\mathrm{0,5}$ avec $n\in \mathbb{Z}$.

Au point d'abscisse $n+\mathrm{0,5}={\displaystyle \frac{n+\left(n+1\right)}{2}}$ on associe la moyenne géométrique des deux termes consécutifs :$$f\left(n+\mathrm{0,5}\right)=\sqrt{f\left(n\right)\times f\left(n+1\right)}=\sqrt{q^n\times q^{n+1}}$$

Soit pour tout entier relatif n :$$f\left(n+\mathrm{0,5}\right)=q^{\frac{n+\left(n+1\right)}{2}}=q^n\times q^{\mathrm{0,5}}=f\left(n\right)\times f\left(\mathrm{0,5}\right)$$

étape 3 : On obtient de nouveaux points en réitérant le processus de prolongement par dichotomie.

• Au point d'abscisse $n+\mathrm{0,25}={\displaystyle \frac{n+\left(n+\mathrm{0,5}\right)}{2}}={\displaystyle \frac{2n+\mathrm{0,5}}{2}}$, on associe on associe le réel : $$f\left(n+\mathrm{0,25}\right)=\sqrt{q^n\times q^{n+\mathrm{0,5}}}=q^{\frac{2n+\mathrm{0,5}}{2}}=q^n\times q^{\mathrm{0,25}}=f\left(n\right)\times f\left(\mathrm{0,25}\right)$$

• Au point d'abscisse $n+\mathrm{0,75}={\displaystyle \frac{\left(n+\mathrm{0,5}\right)+\left(n+1\right)}{2}}={\displaystyle \frac{2n+\mathrm{1,5}}{2}}$, on associe on associe le réel : $$f\left(n+\mathrm{0,75}\right)=\sqrt{q^{n+\mathrm{0,5}}\times q^{n+1}}=q^{\frac{2n+\mathrm{1,5}}{2}}=q^n\times q^{\mathrm{0,75}}=f\left(n\right)\times f\left(\mathrm{0,75}\right)$$

• Plus généralement soient $A\left(a;q^a\right)$ et $B\left(b;q^b\right)$ deux points de la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f, ce processus permet d'obtenir le point $M\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}};\sqrt{q^a\times q^b}\right)$ appartenant à la courbe ${𝒞}_f$.

  $$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)=\sqrt{q^a\times q^b}=q^{\frac{a+b}{2}}=q^{\frac{a}{2}}\times q^{\frac{b}{2}}=f\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)\times f\left({\displaystyle \frac{b}{2}}\right)$$

  La fonction f vérifie la relation $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)\times f\left(y\right)$.

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