Introduction au calcul matriciel

I - Matrices

1 - Définition

On appelle matrice de dimension $m\times n$ (ou d'ordre $m\times n$) un tableau de m lignes et n colonnes de nombres réels.
On note $a_{i,j}$ l'élément de la matrice situé à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne.

Une matrice A est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets :$$\begin{array}{ccc}A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,j}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,j}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)& \text{ou}& A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,j}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,j}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]\end{array}$$

exemple

La matrice $P=\left(\begin{array}{rrr}60& 50& 0\\ 70& 90& 120\end{array}\right)$ est une matrice d'ordre $2\times 3$, le coefficient $a_{2,3}$ de la matrice P est $a_{2,3}=120$.

2 - cas particuliers

matrice carrée

Une matrice ayant le même nombre n de lignes et de colonnes est une matrice carrée d'ordre n.

exemple

La matrice $M=\left(\begin{array}{rrr}-12& \sqrt{2}& 1\\ 0& -1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ est une matrice carrée de dimension 3.

vecteur ligne

Une matrice formée d'une seule ligne et de n colonnes est une matrice ligne ou vecteur ligne.

exemple

La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}60& 50& 0\end{array}\right)$ est une matrice ligne de dimension $1\times 3$.

vecteur colonne

Une matrice formée de m lignes et d'une seule colonne est une matrice colonne ou vecteur colonne.

exemple

La matrice $C=\left(\begin{array}{c}25\\ 28\\ 30\end{array}\right)$ est une matrice colonne de dimension $3\times 1$.

3 - égalité de deux matrices

Deux matrices A et B sont égales si, et seulement si, elles ont même dimension et que tous leurs éléments situés à la même place sont égaux.

exemple

Dire que les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}5& 2-a& -3\\ -1& 3& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& -3\\ -1& 3& b+2\end{array}\right)$ sont égales signifie que :$$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{c}2-a=1\\ b+2=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\end{array}$$

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