cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Probabilités discrètes

I - Rappels

1 - Opérations sur les évènements

Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements.

L'évènement « A ne s'est pas réalisé » est l'évènement contraire de A noté $\bar{A}$ .
L'évènement « au moins un des évènements A ou B s'est réalisé » est l'évènement « A ou B » noté $A \cup B$ .
L'évènement « les évènements A et B se sont réalisés » est l'évènement « A et B » noté $A \cap B$ .
Deux évènements qui ne peuvent pas être réalisés en même temps sont incompatibles. On a alors $A \cap B = \emptyset$ .
Les évènements A et $\bar{A}$ sont incompatibles.

2 - Loi de probabilité

Ω désigne un univers de n éventualités ${e_{1}; e_{2}; \dots; e_{n}}$ .

Définir une loi de probabilité P sur Ω, c'est associer, à chaque évènement élémentaire $e_{i}$ un nombre réel $p (e_{i}) = p_{i}$ de l'intervalle $[0; 1]$ , tel que : $\sum_{i = 1}^{n} p (e_{i}) = p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$
La probabilité d'un évènement A, notée $p (A)$ , est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.

propriétés

Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

Pour tout évènement A, $p (\bar{A}) = 1 - p (A)$ .
Si A et B sont deux évènements $p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B)$

3 - Équiprobabilité

Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c'est à dire, si $p (e_{1}) = p (e_{2}) = \dots = p (e_{n})$ , alors l'univers est dit équiprobable.
On a alors pour tout évènement A, $p (A) = \frac{nombre des issues favorables à A}{nombre des issues possibles} = \frac{card (A)}{card (Ω)}$

Notation :
Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté $card (E)$ est le nombre d'éléments de l'ensemble E.

exemple

On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ?

Si on s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est $Ω = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}$ mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité : $\begin{matrix} 2 = 1 + 1 & alors que & 5 = 1 + 4 ou 5 = 2 + 3 \end{matrix}$

On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple $(a, b)$ où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L'univers Ω associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de ${1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Les dés étant équilibrés, il y a $6^{2} = 36$ résultats équiprobables.

	1	2	3	4	5	6
1	$(1, 1)$	$(1, 2)$	$(1, 3)$	$(1, 4)$	$(1, 5)$	$(1, 6)$
2	$(2, 1)$	$(2, 2)$	$(2, 3)$	$(2, 4)$	$(2, 5)$	$(2, 6)$
3	$(3, 1)$	$(3, 2)$	$(3, 3)$	$(3, 4)$	$(3, 5)$	$(3, 6)$
4	$(4, 1)$	$(4, 2)$	$(4, 3)$	$(4, 4)$	$(4, 5)$	$(4, 6)$
5	$(5, 1)$	$(5, 2)$	$(5, 3)$	$(5, 4)$	$(5, 5)$	$(5, 6)$
6	$(6, 1)$	$(6, 2)$	$(6, 3)$	$(6, 4)$	$(6, 5)$	$(6, 6)$

L'évènement A est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où $p (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
L'évènement B est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où $p (B) = \frac{5}{36}$ .
L'évènement le plus probable est A.

4 - Variable aléatoire discrète

définition

Soit Ω l'univers d'une expérience aléaroire de n éventualités.

On appelle variable aléatoire X sur l'ensemble Ω toute fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
L'évènement « $X = k$ » est l'ensemble des issues de Ω qui ont pour image le réel k par X.

loi de probabilité d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω, qui prend les valeurs ${x_{1}; x_{2}; \dots; x_{k}}$ .
Lorsque, à chaque valeur $x_{i}$ , on associe la probabilité de l'évènement « $X = x_{i}$ », notée $p (X = x_{i})$ , on définit une loi de probabilité sur l'ensemble ${x_{1}; x_{2}; \dots; x_{k}}$ , appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs ${x_{1}; x_{2}; \dots; x_{k}}$ .
On appelle espérance mathématique de X notée $E (X)$ , le réel : $E (X) = \sum_{i = 1}^{k} x_{i} \times p (X = x_{i}) = x_{1} \times p (X = x_{1}) + x_{2} \times p (X = x_{2}) + \dots + x_{k} \times p (X = x_{k})$

remarque

L'espérance $E (X)$ apparaît comme la moyenne arithmétique (au sens statistique du terme) des valeurs $x_{i}$ affectées des fréquences $p_{i} = p (X = x_{i})$ .

exemple

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : $Ω = {PPP; PPF; PFP; FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}$ La pièce étant équilibrée, chaque évènement élémentaire a la même probabilité $p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

On définit une variable aléatoire X avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 6 € s'il obtient trois « pile » successifs, il gagne 2 € s'il obtient deux « pile » et il perd 4 € dans tous les autres cas.

La variable X peut prendre les valeurs ${- 4; 2; 6}$ .
L'image de « PPP » est $X (PPP) = 6$ , l'image de « PFP » est $X (PFP) = 2$ et l'image de « PFF » est $X (PFF) = - 4$ .
L'évènement « $X = 2$ » est constitué des tois issues ${PPF; PFP; FPP}$ .

La loi de probabilité de X est :

$x_{i}$	$- 4$	2	6
$p (X = x_{i})$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

L'espérance mathématique de X est : $E (X) = - 4 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{8} + 6 \times \frac{1}{8} = - \frac{1}{2}$

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