cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Probabilités discrètes

I - Rappels

1 - Opérations sur les évènements

Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements.

2 - Loi de probabilité

Ω désigne un univers de n éventualités e1e2en.

  • Définir une loi de probabilité P sur Ω, c'est associer, à chaque évènement élémentaire ei un nombre réel pei=pi de l'intervalle 01, tel que : i=1npei=p1+p2++pn=1
  • La probabilité d'un évènement A, notée pA, est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.

propriétés

Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.

  • Pour tout évènement A, pA¯=1-pA.
  • Si A et B sont deux évènements pAB=pA+pB-pAB

3 - Équiprobabilité

Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c'est à dire, si pe1=pe2==pen, alors l'univers est dit équiprobable.
On a alors pour tout évènement A, pA=nombre des issues favorables à  Anombre des issues possibles=cardAcardΩ

Notation :
Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté cardE est le nombre d'éléments de l'ensemble E.

exemple

On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ?

Si on s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est Ω=23456789101112 mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité :2=1+1alors que5=1+4ou5=2+3

On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple aba est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L'univers Ω associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de 123456. Les dés étant équilibrés, il y a 62=36 résultats équiprobables.

123456
1111213141516
2212223242526
3313233343536
4414243444546
5515253545556
6616263646566

L'évènement A est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où pA=636=16.
L'évènement B est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où pB=536.
L'évènement le plus probable est A.


4 - Variable aléatoire discrète

définition

Soit Ω l'univers d'une expérience aléaroire de n éventualités.

  • On appelle variable aléatoire X sur l'ensemble Ω toute fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre réel.
  • L'évènement « X=k » est l'ensemble des issues de Ω qui ont pour image le réel k par X.

loi de probabilité d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω, qui prend les valeurs x1x2xk.
Lorsque, à chaque valeur xi, on associe la probabilité de l'évènement « X=xi », notée pX=xi, on définit une loi de probabilité sur l'ensemble x1x2xk, appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.


espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs x1x2xk.
On appelle espérance mathématique de X notée EX, le réel : EX=i=1kxi×pX=xi=x1×pX=x1+x2×pX=x2++xk×pX=xk

remarque

L'espérance EX apparaît comme la moyenne arithmétique (au sens statistique du terme) des valeurs xi affectées des fréquences pi=pX=xi.

exemple

On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : Ω=PPPPPFPFPFPPPFFFPFFFPFFF La pièce étant équilibrée, chaque évènement élémentaire a la même probabilité p=12×12×12=18

On définit une variable aléatoire X avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 6 € s'il obtient trois « pile » successifs, il gagne 2 € s'il obtient deux « pile » et il perd 4 € dans tous les autres cas.

La loi de probabilité de X est :

xi-426
pX=xi123818

L'espérance mathématique de X est : EX=-4×12+2×38+6×18=-12


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