cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Calcul intégral

I - Intégrale et aire

1 - Unité d'aire

Unité d'aire : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit (O;𝚤,𝚥) un repère orthogonal du plan.
L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIKJ avec I(1;0), J(0;1) et K(1;1).


2 - Intégrale d'une fonction continue et positive

définition

Aire sous la courbe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a;b] et 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O;𝚤,𝚥).
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.
Ce nombre est noté : abf(x)dx.

remarques :

exemples :

  1. Calculons -14(-0,4x+3,6)dx.

    La fonction affine f définie pour tout réel x par f(x)=-0,4x+3,6 est continue et positive sur l'intervalle [-1;4].

    Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'intégrale -14(-0,4x+3,6)dx est égale à l'aire du trapèze ABCD avec A(-1;0), B(4;0), C(4;f(4)) soit C(4;2) et D(-1;f(-1)) soit D(-1;4). -14(-0,4x+3,6)dx=(AD+BC)×AB2=(4+2)×52=15


  2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=4x2-2x+5. Calculer -13f(x)dx.

    Pour tout réel x, x2-2x+5>0 par conséquent, la fonction f est dérivable donc continue et strictement positive. On note 𝒞f sa courbe représentative.

    l'intégrale -13f(x)dx est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=3.

    1. Encadrement par des polygones

      Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le domaine 𝒟f est encadré par des surfaces délimitées par des polygones dont on peut calculer l'aire à l'aide d'un découpage en figures simples du plan : triangle, carré, rectangle trapèze.

      Soient 𝒜I l'aire du polygone inscrit ABLMP et 𝒜E l'aire du polygone circonscrit ABLRSP.

      • 𝒜I est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du triangle LMP d'où 𝒜I=4×0,5+4×0,52=3
      • 𝒜E est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du trapèze LRSP d'où 𝒜E=4×0,5+(4+1)×0,52=3,25

      On en déduit que 3-13f(x)dx3,25


    2. Encadrement par deux familles de rectangles

      On subdivise l'intervalle [-1;3] en n intervalles de même amplitude pour obtenir un encadrement de l'intégrale -13f(x)dx à partir de l'aire de deux familles de rectangles.

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      Subdivision de l'intervalle [-1;3] avec un pas Δx=12.

      Sur chacun des intervalles [xk;xk+1] avec 0k<8, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonction f sur l'intervalle [xk;xk+1] et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonction f sur le même intervalle.
      Compte tenu des variations de la fonction f et des valeurs calculées ci-dessous :

      xk-1-120121322523
      f(xk)1216254516171161745162512

      L'aire 𝒜I, somme des aires des rectangles inscrits est : 𝒜I=(12+1625+45+1617+1617+45+1625+12)×12=24498502,88

      L'aire 𝒜E, somme des aires des rectangles circonscrits est : 𝒜E=(1625+45+1617+1+1+1617+45+1625)×12=14374253,38

      On en déduit que 2449850-13f(x)dx1437425.


      En choisissant une subdivision de l'intervalle [-1;3] plus fine, on augmente la précision de l'encadrement.

      • Avec un pas Δx=0,1 on obtient 3,091-13f(x)dx3,192.
      • Avec un pas Δx=0,01 on obtient 3,136-13f(x)dx3,147.

    Remarque :

    • À l'aide de la calculatrice, on trouve -13f(x)dx3,1415927.
    • À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient -13f(x)dx=π.

3 - intégrale d'une fonction continue et négative

Si f est une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] alors, la fonction g définie sur l'intervalle [a;b] par g=-f est une fonction continue et positive sur cet intervalle.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b est égale à l'aire du domaine 𝒟g compris entre la courbe 𝒞g, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.

Aire sous la courbe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

définition

Soit f une fonction définie, continue et négative sur un intervalle [a;b] et 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O;𝚤,𝚥).
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'opposé de l'aire 𝒜, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b :abf(x)dx=-𝒜

4 - lien entre intégrale et dérivée

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. On peut définir une nouvelle fonction F qui à tout réel x de l'intervalle [a;b], associe l'intégrale de f entre a et x : F(x)=axf(t)dt.

théorème    (admis)

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
La fonction F définie sur [a;b] par F(x)=axf(t)dt est dérivable sur l'intervalle [a;b] et a pour dérivée la fonction f.

exemple

Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-1;4] par f(x)=-12x+52.

Si x est un réel de l'intervalle [-1;4], la fonction F définie par F(x)=-1xf(t)dt est égale à l'aire du trapèze colorié.

Comme f(-1)=3, on a donc F(x)=(3+(-0,5x+2,5))×(x+1)2=-x24+5x2+114

La fonction F est dérivable sur [-1;4] et F(x)=-12x+52=f(x).


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