Calcul intégral

I - Intégrale et aire

1 - Unité d'aire

Soit $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ un repère orthogonal du plan.
L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIKJ avec $I\left(1;0\right)$, $J\left(0;1\right)$ et $K\left(1;1\right)$.

---

2 - Intégrale d'une fonction continue et positive

définition

Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine ${𝒟}_f$ compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Ce nombre est noté : ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

remarques :

• ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ se lit « intégrale de a à b de $f\left(x\right)\mathrm{d}x$ » ou encore « somme de a à b de $f\left(x\right)\mathrm{d}x$ ».
• Les réels a et b sont appelés les bornes de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.
• La variable x est dite « muette », elle n'intervient pas dans le résultat. C'est à dire qu'on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable distincte des lettres a et b : ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_a^b}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\displaystyle {\int }_a^b}f\left(u\right)\mathrm{d}u$.
• ${\displaystyle {\int }_a^a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0$, car le domaine ${𝒟}_f$ est alors réduit à un segment.

exemples :

1. Calculons ${\displaystyle {\int }_{-1}^4}\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,6}\right)\mathrm{d}x$.

   La fonction affine f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,6}$ est continue et positive sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$.

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^4}\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,6}\right)\mathrm{d}x$ est égale à l'aire du trapèze ABCD avec $A\left(-1;0\right)$, $B\left(4;0\right)$, $C\left(4;f\left(4\right)\right)$ soit $C\left(4;2\right)$ et $D\left(-1;f\left(-1\right)\right)$ soit $D\left(-1;4\right)$. $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-1}^4}\left(-\mathrm{0,4}x+\mathrm{3,6}\right)\mathrm{d}x& =& {\displaystyle \frac{\left(AD+BC\right)\times AB}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4+2\right)\times 5}{2}}\\ & =& 15\end{array}$$

   ---

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{x^2-2x+5}}$. Calculer ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

   Pour tout réel x, $x^2-2x+5>0$ par conséquent, la fonction f est dérivable donc continue et strictement positive. On note ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.

   l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré ${𝒟}_f$ compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=3$.

   1. Encadrement par des polygones

      Le domaine ${𝒟}_f$ est encadré par des surfaces délimitées par des polygones dont on peut calculer l'aire à l'aide d'un découpage en figures simples du plan : triangle, carré, rectangle trapèze.

      Soient ${𝒜}_I$ l'aire du polygone inscrit ABLMP et ${𝒜}_E$ l'aire du polygone circonscrit ABLRSP.

      • ${𝒜}_I$ est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du triangle LMP d'où $${𝒜}_I=4\times \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{4\times \mathrm{0,5}}{2}}=3$$
      • ${𝒜}_E$ est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du trapèze LRSP d'où $${𝒜}_E=4\times \mathrm{0,5}+{\displaystyle \frac{\left(4+1\right)\times \mathrm{0,5}}{2}}=\mathrm{3,25}$$

      On en déduit que $3⩽{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽\mathrm{3,25}$

      ---

   2. Encadrement par deux familles de rectangles

      On subdivise l'intervalle $\left[-1;3\right]$ en n intervalles de même amplitude pour obtenir un encadrement de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ à partir de l'aire de deux familles de rectangles.

      Subdivision de l'intervalle $\left[-1;3\right]$ avec un pas $\mathrm{\Delta }x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

      Sur chacun des intervalles $\left[x_k;x_{k+1}\right]$ avec $0⩽k<8$, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonction f sur l'intervalle $\left[x_k;x_{k+1}\right]$ et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonction f sur le même intervalle.
      Compte tenu des variations de la fonction f et des valeurs calculées ci-dessous :

      $x_k$	$-1$	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$	0	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	1	${\displaystyle \frac{3}{2}}$	2	${\displaystyle \frac{5}{2}}$	3
      $f\left(x_k\right)$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{16}{25}}$	${\displaystyle \frac{4}{5}}$	${\displaystyle \frac{16}{17}}$	1	${\displaystyle \frac{16}{17}}$	${\displaystyle \frac{4}{5}}$	${\displaystyle \frac{16}{25}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$

      L'aire ${𝒜}_I$, somme des aires des rectangles inscrits est : $${𝒜}_I=\left({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{16}{25}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{16}{17}}+{\displaystyle \frac{16}{17}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{16}{25}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2449}{850}}\approx \mathrm{2,88}$$

      L'aire ${𝒜}_E$, somme des aires des rectangles circonscrits est : $${𝒜}_E=\left({\displaystyle \frac{16}{25}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{16}{17}}+1+1+{\displaystyle \frac{16}{17}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{16}{25}}\right)\times {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1437}{425}}\approx \mathrm{3,38}$$

      On en déduit que ${\displaystyle \frac{2449}{850}}⩽{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽{\displaystyle \frac{1437}{425}}$.

      ---

      En choisissant une subdivision n de l'intervalle $\left[-1;3\right]$ plus fine, on augmente la précision de l'encadrement.

      • Avec un pas $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{0,1}$ on obtient $\mathrm{3,091}⩽{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽\mathrm{3,192}$.
      • Avec un pas $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{0,01}$ on obtient $\mathrm{3,136}⩽{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽\mathrm{3,147}$.

   Remarque :

   • À l'aide de la calculatrice, on trouve ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \mathrm{3,1415927}$.
   • À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\pi$.

---

3 - intégrale d'une fonction continue et négative

Si f est une fonction continue et négative sur un intervalle $\left[a;b\right]$ alors, la fonction g définie sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ par $g=-f$ est une fonction continue et positive sur cet intervalle.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine ${𝒟}_f$ compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine ${𝒟}_g$ compris entre la courbe ${𝒞}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

définition

Soit f une fonction définie, continue et négative sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'opposé de l'aire $𝒜$, exprimée en unités d'aire, du domaine ${𝒟}_f$ compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ :$${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=-𝒜$$

4 - lien entre intégrale et dérivée

Soit f une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$. On peut définir une nouvelle fonction F qui à tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$, associe l'intégrale de f entre a et x : $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$.

théorème    (admis)

Soit f une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$.
La fonction F définie sur $\left[a;b\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ est dérivable sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et a pour dérivée la fonction f.

exemple

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

Si x est un réel de l'intervalle $\left[-1;4\right]$, la fonction F définie par $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ est égale à l'aire du trapèze colorié.

Comme $f\left(-1\right)=3$, on a donc $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(3+\left(-\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,5}\right)\right)\times \left(x+1\right)}{2}}=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{5x}{2}}+{\displaystyle \frac{11}{4}}$

La fonction F est dérivable sur $\left[-1;4\right]$ et $F\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}=f\left(x\right)$.

---

suivant>> Primitives

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.