cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Calcul intégral

I - Intégrale et aire

1 - Unité d'aire

Unité d'aire : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit Oıȷ un repère orthogonal du plan.
L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIKJ avec I10, J01 et K11.


2 - Intégrale d'une fonction continue et positive

définition

Aire sous la courbe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle ab et 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal Oıȷ.
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.
Ce nombre est noté : abfxdx.

remarques :

exemples :

  1. Calculons -14-0,4x+3,6dx.

    La fonction affine f définie pour tout réel x par fx=-0,4x+3,6 est continue et positive sur l'intervalle -14.

    Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'intégrale -14-0,4x+3,6dx est égale à l'aire du trapèze ABCD avec A-10, B40, C4f4 soit C42 et D-1f-1 soit D-14. -14-0,4x+3,6dx=AD+BC×AB2=4+2×52=15


  2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx=4x2-2x+5. Calculer -13fxdx.

    Pour tout réel x, x2-2x+5>0 par conséquent, la fonction f est dérivable donc continue et strictement positive. On note 𝒞f sa courbe représentative.

    l'intégrale -13fxdx est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=3.

    1. Encadrement par des polygones

      Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le domaine 𝒟f est encadré par des surfaces délimitées par des polygones dont on peut calculer l'aire à l'aide d'un découpage en figures simples du plan : triangle, carré, rectangle trapèze.

      Soient 𝒜I l'aire du polygone inscrit ABLMP et 𝒜E l'aire du polygone circonscrit ABLRSP.

      • 𝒜I est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du triangle LMP d'où 𝒜I=4×0,5+4×0,52=3
      • 𝒜E est égal à la somme des aires du rectangle ABLP et du trapèze LRSP d'où 𝒜E=4×0,5+4+1×0,52=3,25

      On en déduit que 3-13fxdx3,25


    2. Encadrement par deux familles de rectangles

      On subdivise l'intervalle -13 en n intervalles de même amplitude pour obtenir un encadrement de l'intégrale -13fxdx à partir de l'aire de deux familles de rectangles.

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      Subdivision de l'intervalle -13 avec un pas Δx=12.

      Sur chacun des intervalles xkxk+1 avec 0k<8, le rectangle inscrit sous la courbe a pour longueur le minimum de la fonction f sur l'intervalle xkxk+1 et le rectangle circonscrit a pour longueur le maximum de la fonction f sur le même intervalle.
      Compte tenu des variations de la fonction f et des valeurs calculées ci-dessous :

      xk-1-120121322523
      fxk1216254516171161745162512

      L'aire 𝒜I, somme des aires des rectangles inscrits est : 𝒜I=12+1625+45+1617+1617+45+1625+12×12=24498502,88

      L'aire 𝒜E, somme des aires des rectangles circonscrits est : 𝒜E=1625+45+1617+1+1+1617+45+1625×12=14374253,38

      On en déduit que 2449850-13fxdx1437425.


      En choisissant une subdivision de l'intervalle -13 plus fine, on augmente la précision de l'encadrement.

      • Avec un pas Δx=0,1 on obtient 3,091-13fxdx3,192.
      • Avec un pas Δx=0,01 on obtient 3,136-13fxdx3,147.

    Remarque :

    • À l'aide de la calculatrice, on trouve -13fxdx3,1415927.
    • À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient -13fxdx=π.

3 - intégrale d'une fonction continue et négative

Si f est une fonction continue et négative sur un intervalle ab alors, la fonction g définie sur l'intervalle ab par g=-f est une fonction continue et positive sur cet intervalle.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b est égale à l'aire du domaine 𝒟g compris entre la courbe 𝒞g, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.

Aire sous la courbe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

définition

Soit f une fonction définie, continue et négative sur un intervalle ab et 𝒞f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal Oıȷ.
L'intégrale de la fonction f entre a et b est égale à l'opposé de l'aire 𝒜, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟f compris entre la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b :abfxdx=-𝒜

4 - lien entre intégrale et dérivée

Soit f une fonction continue sur un intervalle ab. On peut définir une nouvelle fonction F qui à tout réel x de l'intervalle ab, associe l'intégrale de f entre a et x : Fx=axftdt.

théorème    (admis)

Soit f une fonction continue sur un intervalle ab.
La fonction F définie sur ab par Fx=axftdt est dérivable sur l'intervalle ab et a pour dérivée la fonction f.

exemple

Intégrale, aire d'un trapèze : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle -14 par fx=-12x+52.

Si x est un réel de l'intervalle -14, la fonction F définie par Fx=-1xftdt est égale à l'aire du trapèze colorié.

Comme f-1=3, on a donc Fx=3+-0,5x+2,5×x+12=-x24+5x2+114

La fonction F est dérivable sur -14 et Fx=-12x+52=fx.


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