Intervalle de fluctuation, estimation

I - fluctuation d'échantillonnage

1 - Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

On s'intéresse à un caractère de proportion p connue au sein d'une population.
On considère la variable aléatoire $F_n$ qui à chaque échantillon aléatoire de taille n associe la fréquence du caractère étudié.

Définition

On appelle intervalle de fluctuation de $F_n$ au seuil de 95 %, tout intervalle $\left[\alpha ;\beta \right]$ tel que la probabilité $P\left(F_n\in \left[\alpha ;\beta \right]⩾\mathrm{0,95}\right)$.

exemple

En première partie de soirée une série a attiré près de 5,2 millions de téléspectateurs soit 28 % de part d'audience.
Déterminons un intervalle de fluctuation de la part d'audience de cette série pour un échantillon de taille 100.

Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de téléspectateurs qui ont regardé cette série dans un échantillon de 100 personnes ayant regardé la télévision en première partie de soirée.
Le nombre de téléspectateurs en première partie de soirée est suffisamment important pour considérer que la variable X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,28}$.

Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=19$ et, le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=37$.
Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des téléspectateurs qui ont regardé cette série dans un échantillon de taille 100 est :$$\begin{array}{rcl}I=\left[{\displaystyle \frac{19}{100}};{\displaystyle \frac{37}{100}}\right]& \text{soit}& I=\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,37}\right]\end{array}$$

2 - Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire $F_n$, l'intervalle : $$I_n=\left[p-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}};p+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}}\right]$$

Interprétation

L'intervalle $I_n$ contient la fréquence $F_n$ avec une probabilité proche de 0,95 pourvu que n soit suffisamment grand.

En pratique, on utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 dès que : $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$.

exemple

Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la part d'audience de la série pour un échantillon de taille 100.

Avec $n=100$ et $p=\mathrm{0,28}$ on a $np=100\times \mathrm{0,28}=28$ et $n\left(1-p\right)=100\times \mathrm{0,72}=72$, les critères d'approximation sont vérifiés.

L'intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 sur un échantillon de taille 100 est :$$I_{100}=\left[\mathrm{0,28}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}{100}}};\mathrm{0,28}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}{100}}}\right]$$ Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, $I_{100}\approx \left[\mathrm{0,191};\mathrm{0,369}\right]$.

remarque

On a tracé ci-dessous, sur l'intervalle $\left]0;1\right[$, les courbes représentatives des fonctions $f_{\text{inf}}:p\mapsto p-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}}$ et $f_{\text{sup}}:p\mapsto p+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}}$ associées aux bornes des intervalles de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour les valeurs de $n=30$, $n=100$ et $n=500$.

Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu =28$ et d'écart-type $\sigma =\sqrt{100\times \mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}\approx \mathrm{4,49}$. Pour un échantillon de taille $n=100$ : $$P\left(\mathrm{19,1}⩽X⩽\mathrm{36,9}\right)\approx \mathrm{0,953}$$

3 - Décision à partir de la fréquence d'un échantillon

Quand les critères d'approximation ( $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$) sont vérifiés, l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_n$ permet de déterminer des seuils de décision :

• pour accepter ou rejeter l'hypothèse selon laquelle p est la proportion d'un caractère dans la population ;
• pour déterminer si un échantillon issu de la population est représentatif.

exemple

Dans un forum on a constaté que 34 personnes sur 100 ont regardé la série dont la part d'audience a été estimée à 28 %. Ce résultat remet-il en question l'estimation de la part d'audience de la série ?

Avec $n=100$, $np=28$ et $n\left(1-p\right)=72$, les critères d'approximation sont vérifiés.

• La fréquence observée de la part d'audience dans l'échantillon de taille 100 est : $f={\displaystyle \frac{34}{100}}=\mathrm{0,34}$.
• L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la part d'audience de la série dans les échantillons de taille 100 est $I_{100}\approx \left[\mathrm{0,191};\mathrm{0,369}\right]$.

Comme $\mathrm{0,34}\in \left[\mathrm{0,191};\mathrm{0,369}\right]$, l'estimation d'une part d'audience de 28 % pour la série n'est pas remise en cause.

4 - Comparaison des différents intervalles de fluctuation

Les conditions $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$ sont réunies :

1. Intervalle de fluctuation vu en seconde $I_0=\left[\mathrm{0,28}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{100}}};\mathrm{0,28}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{100}}}\right]=\left[\mathrm{0,18};\mathrm{0,369}\right]$.

2. Intervalle de fluctuation associé à la loi binomiale $ℬ\left(100;\mathrm{0,28}\right)$ : $I_1=\left[{\displaystyle \frac{19}{100}};{\displaystyle \frac{37}{100}}\right]=\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,37}\right]$.

3. Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % déduit de la loi normale d'espérance $\mu =28$ et d'écart-type $\sigma =\sqrt{100\times \mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}\approx \mathrm{4,49}$ : $$I_A=\left[\mathrm{0,28}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}{100}}};\mathrm{0,28}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}\times \mathrm{0,72}}{100}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,1919};\mathrm{0,3681}\right]$$

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