cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Intervalle de fluctuation, estimation

I - fluctuation d'échantillonnage

1 - Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

On s'intéresse à un caractère de proportion p connue au sein d'une population.
On considère la variable aléatoire Fn qui à chaque échantillon aléatoire de taille n associe la fréquence du caractère étudié.

Définition

On appelle intervalle de fluctuation de Fn au seuil de 95 %, tout intervalle αβ tel que la probabilité PFnαβ0,95.

exemple

En première partie de soirée une série a attiré près de 5,2 millions de téléspectateurs soit 28 % de part d'audience.
Déterminons un intervalle de fluctuation de la part d'audience de cette série pour un échantillon de taille 100.

Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de téléspectateurs qui ont regardé cette série dans un échantillon de 100 personnes ayant regardé la télévision en première partie de soirée.
Le nombre de téléspectateurs en première partie de soirée est suffisamment important pour considérer que la variable X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,28.

Le plus petit entier a tel que PXa>0,025 est a=19 et, le plus petit entier b tel que PXb0,975 est b=37.
Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des téléspectateurs qui ont regardé cette série dans un échantillon de taille 100 est :I=1910037100soitI=0,190,37

2 - Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %

On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire Fn, l'intervalle : In=p-1,96×p1-pnp+1,96×p1-pn

Interprétation

L'intervalle In contient la fréquence Fn avec une probabilité proche de 0,95 pourvu que n soit suffisamment grand.

En pratique, on utilise l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 dès que : n30, np5 et n1-p5.

exemple

Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la part d'audience de la série pour un échantillon de taille 100.

Avec n=100 et p=0,28 on a np=100×0,28=28 et n1-p=100×0,72=72, les critères d'approximation sont vérifiés.

L'intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 sur un échantillon de taille 100 est :I100=0,28-1,96×0,28×0,721000,28+1,96×0,28×0,72100 Soit avec des valeurs approchées à 10-3 près des bornes de l'intervalle, I1000,1910,369.

remarque

On a tracé ci-dessous, sur l'intervalle 01, les courbes représentatives des fonctions finf:pp-1,96×p1-pn et fsup:pp+1,96×p1-pn associées aux bornes des intervalles de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour les valeurs de n=30, n=100 et n=500.

Intervalles de fluctuations : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance μ=28 et d'écart-type σ=100×0,28×0,724,49. Pour un échantillon de taille n=100 : P19,1X36,90,953

3 - Décision à partir de la fréquence d'un échantillon

Quand les critères d'approximation ( n30, np5 et n1-p5) sont vérifiés, l'intervalle de fluctuation asymptotique In permet de déterminer des seuils de décision :

On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est p.
On prélève dans la population un échantillon de taille n et on note f la fréquence observée du caractère étudié.

Lorsque n30, np5 et n1-p5 on pose : In=p-1,96×p1-pnp+1,96×p1-pn

  • Si la fréquence observée f n'appartient pas à l'intervalle In, alors on rejette l'hypothèse selon laquelle p est la proportion du caractère étudié dans la population avec un risque d'erreur de 5 %.
  • Si la fréquence observée f appartient à l'intervalle In, alors l'hypothèse selon laquelle p est la proportion du caractère étudié dans la population est acceptée.

exemple

Dans un forum on a constaté que 34 personnes sur 100 ont regardé la série dont la part d'audience a été estimée à 28 %. Ce résultat remet-il en question l'estimation de la part d'audience de la série ?

Avec n=100, np=28 et n1-p=72, les critères d'approximation sont vérifiés.

Comme 0,340,1910,369, l'estimation d'une part d'audience de 28 % pour la série n'est pas remise en cause.

4 - Comparaison des différents intervalles de fluctuation

Intervalles de fluctuation : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les conditions n30, np5 et n1-p5 sont réunies :

  1. Intervalle de fluctuation vu en seconde I0=0,28-11000,28+1100=0,180,38.

  2. Intervalle de fluctuation associé à la loi binomiale 1000,28 : I1=1910037100=0,190,37.

  3. Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % déduit de la loi normale d'espérance μ=28 et d'écart-type σ=100×0,28×0,724,49 : IA=0,28-1,96×0,28×0,721000,28+1,96×0,28×0,721000,19190,3681


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