cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Lois de probabilité à densité

I - Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d'un intervalle I de est dite continue.

1 - Fonction de densité

Soit I un intervalle de . On appelle fonction de densité de probabilité sur I toute fonction f définie, continue et positive sur I telle que l'intégrale de f sur I soit égale à 1.

exemple

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle 01,5 par ft=64t327-64t29+16t3.
Vérifions que la fonction f est une fonction de densité de probabilité sur 01,5.

Ainsi, f est une fonction de densité de probabilité sur 01,5.

2 - Loi de probabilité

Soit f une fonction de densité de probabilité sur un intervalle I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I lorsque, pour tout intervalle ab inclus dans I, la probabilité de l'événement Xab est :PXab=PaXb=abftdt

remarque

PaXb est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre la courbe 𝒞f représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=a.

exemple

On modélise à l'aide d'une variable aléatoire X la durée en heure du temps d'attente aux consultations d'un hôpital fictif avec X01,5 suivant la loi de probabilité de densité la fonction f définie pour tout réel t de l'intervalle 01,5 par ft=64t327-64t29+16t3.

Densité de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

propriétés

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I. Pour tous réels a et b appartenant à I :

  1. PX=a=aaftdt=0.

  2. PaXb=Pa<Xb=PaX<b=Pa<X<b

  3. PXa=PX>a=1-PXa

3 - Espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité f sur l'intervalle ab, alors l'espérance mathématique de X est le réel EX=abt×ftdt

exemple

Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire X mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations dont la fonction de densité f est définie sur 01,5 par ft=64t327-64t29+16t3.

EX=01,5t×ftdt=01,564t427-64t39+16t23dt=64t5135-16t49+16t3901,5=3,6-9+6=0,6

Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes.


4 - Probabilité conditionnelle

Soient X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I, J1 et J2 deux intervalles de I tel que PXJ10.
La probabilité conditionnelle de l'évènement XJ2 sachant que l'évènement XJ1 est réalisé est :PXJ1XJ2=PXJ1J2PXJ1

exemple

Calculons la probabilité que le temps d'attente d'une personne soit inférieur à une heure sachant qu'elle a patienté plus d'une demi-heure.

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle PX>0,5X1=P0,5<X1PX>0,5.

Or PX>0,5=1627 et, P0,5<X1=0,5164t327-64t29+16t3dt=1327 d'où PX>0,5X1=13271627=1316=0,8125

Ainsi, la probabilité que le temps d'attente d'une personne qui a patienté plus d'une demi-heure soit inférieur à une heure est égale à 0,8125.



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