contrôle du 1^er octobre 2013

Corrigé de l'exercice 1

En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau. On remplit un bassin avec 90 m³ d'eau.

partie a

1. Calculer le volume d'eau contenu dans ce bassin au bout de deux semaines.

   Au bout d'une semaine, le volume d'eau contenu dans le bassin est : $90\times \left(1-{\displaystyle \frac{3}{100}}\right)=\mathrm{87,3}$

   Au bout de la deuxième semaine, le volume d'eau contenu dans le bassin est donc : $\mathrm{87,3}\times \mathrm{0,97}=\mathrm{84,681}$

   Au bout de deux semaines, le volume d'eau contenu dans le bassin est de 84,681 m³.

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2. On note $V_n$ le nombre de m³ d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines; on a donc $V_0=90$.

   1. Justifier que pour tout entier n, $V_{n+1}=\mathrm{0,97}\times V_n$.

      Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 3 % est : $1-{\displaystyle \frac{3}{100}}=\mathrm{0,97}$

      Par conséquent, pour tout entier n, $V_{n+1}=\mathrm{0,97}\times V_n$.

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   2. Déterminer la nature de la suite $\left(V_n\right)$ puis, exprimer $V_n$ en fonction de n.

      Pour tout entier n, $V_{n+1}=\mathrm{0,97}\times V_n$ donc $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,97. D'autre part, le premier terme de cette suite géométrique est $V_0=90$ donc :

      Pour tout entier n, $V_n=90\times {\mathrm{0,97}}^n$.

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3. Au bout de quatre semaines, le bassin a-t-il perdu 12 % de son volume d'eau ?

   Au bout de quatre semaines le nombre de m³ d'eau contenu dans ce bassin est :$$V_4=90\times {\mathrm{0,97}}^4\approx \mathrm{79,676}$$

   Le taux du pourcentage d'évolution au bout de quatre semaines est :$$\begin{array}{ccc}t=\left({\displaystyle \frac{V_4}{V_0}}-1\right)\times 100& \text{Soit}& t=\left({\displaystyle \frac{90\times {\mathrm{0,97}}^4}{90}}-1\right)\times 100\approx -\mathrm{11,47}\end{array}$$

   Au bout de quatre semaines, le bassin a perdu environ 11,5 % de son volume d'eau.

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partie b

1. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au centième près.

   N	0	1	2	3	4	5	6	7	8
   U	90	89,7	89,41	89,13	88,85	88,59	88,33	88,08	87,84
   Test $U⩾\mathrm{88}$	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	FAUX

2. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

   Le nombre affiché en sortie de l'algorithme est 8. C'est au bout de huit semaines que le volume d'eau du bassin sera inférieur à 88 m³.

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conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variation, limitesLogarithme népérien : Propriétés algébriques , équationsFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentiellePrimitives d'une fonctionIntégrationÉquations différentiellesProbabilités : Lois de probabilité à densitéTrigonométrieNombres complexesFonctions : QCMFonctions : Vrai-Faux

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