contrôle du 1^er octobre 2013

exercice 1

En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau. On remplit un bassin avec 90 m³ d'eau.

partie a

1. Calculer le volume d'eau contenu dans ce bassin au bout de deux semaines.

2. On note $V_n$ le nombre de m³ d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines; on a donc $V_0=90$.

   1. Justifier que pour tout entier n, $V_{n+1}=\mathrm{0,97}\times V_n$.

   2. Déterminer la nature de la suite $\left(V_n\right)$ puis, exprimer $V_n$ en fonction de n.

3. Au bout de quatre semaines, le bassin a-t-il perdu 12 % de son volume d'eau ?

partie b

Pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m³ d'eau dans le bassin.

On considère l'algorithme suivant :

Initialisation :	Affecter à N la valeur 0
	Affecter à U la valeur 90
Traitement :	Tant_que$U⩾\mathrm{88}$ :
	Affecter à N la valeur $N+1$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,97}\times U+\mathrm{2,4}$
	Fin Tant_que
Sortie :	Afficher N

1. Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au centième près.

   N	0	1	…
   U	90		…
   Test $U⩾\mathrm{88}$	Vrai		…

2. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x^2}}$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   2. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau complet des variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 3.

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