contrôle du 1^er octobre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x^2}}$ .
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      • $\underset{x\to 0}{\lim }2x^2+x-3=-3$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$ donc par quotient $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x^2}}=-\infty$

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x^2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}=2$

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$.

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   2. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

      • $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées.
      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=2$ au voisinage de $+\infty$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2x^2+x-3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4x+1\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{cccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(4x+1\right)\times \left(x^2\right)-2x\times \left(2x^2+x-3\right)}{{\left(x^2\right)}^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{4x^3+x^2-4x^3-2x^2+6x}{x^4}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2+6x}{x^4}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{x\times \left(6-x\right)}{x^4}}\hfill & \left(x\ne 0\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{6-x}{x^3}}\hfill & \end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{6-x}{x^3}}$.

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   2. Donner le tableau complet des variations de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Comme sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ le quotient ${\displaystyle \frac{2-x}{x^3}}$ est du même signe que $6-x$, nous pouvons établir le tableau du signe de la dérivée ainsi que les variations de la fonction f :

      x	0			6		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		${\displaystyle \frac{25}{12}}$		2

      calcul du maximum

      $$f\left(2\right)={\displaystyle \frac{2\times 36+6-3}{36}}={\displaystyle \frac{25}{12}}$$

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 3.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 3 a pour équation :$$y=f\prime \left(3\right)\times \left(x-3\right)+f\left(3\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{6-3}{27}}={\displaystyle \frac{1}{9}}& \text{et}& f\left(3\right)={\displaystyle \frac{2\times 9+3-3}{9}}=2\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{9}}\times \left(x-3\right)+2& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 3 a pour équation $y={\displaystyle \frac{x}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}$.

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