contrôle du 11 février 2014

Corrigé de l'exercice 1

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{12}}^{\frac{\pi }{4}}{\displaystyle \frac{\cos 2t}{2}}\mathrm{d}t}$.

   Une primitive de la fonction f définie pour tout réel t par $f\left(t\right)=\cos 2t$ est la fonction F définie pour tout réel t par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t$. Donc $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{12}}^{\frac{\pi }{4}}{\displaystyle \frac{\cos 2t}{2}}\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{\sin 2t}{2}}\right]}_{\frac{\pi }{12}}^{\frac{\pi }{4}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left({\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

   $A={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{12}}^{\frac{\pi }{4}}{\displaystyle \frac{\cos 2t}{2}}\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{8}}$.

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2. $B={\displaystyle {\int }_3^6{\displaystyle \frac{2}{x-2}}\mathrm{d}x}$.

   Soit u la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[3;6\right]$ par $u\left(x\right)=x-2$ d'où $u\prime \left(x\right)=1$. Alors, $f=2\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u>0$.

   Par conséquent, une primitive de la fonction f définie surl'intervalle $\left[3;6\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x-2}}$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=2\ln \left(x-2\right)$. Donc : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_3^6{\displaystyle \frac{2}{x-2}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[2\ln \left(x-2\right)\right]}_3^6}\\ & =& 2\ln \left(6-2\right)-2\ln \left(3-2\right)\\ & =& 2\ln \left(4\right)\end{array}$$

   $B={\displaystyle {\int }_3^6{\displaystyle \frac{2}{x-2}}\mathrm{d}x}=4\ln 2$.

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3. $C={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\left(2\cos 3t+3\sin 2t\right)\mathrm{d}t}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\left(2\cos 3t+3\sin 2t\right)\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin 3t-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos 2t\right]}_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}\\ & =& \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos \pi \right)-\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\sin \left(-\pi \right)-{\displaystyle \frac{3}{2}}\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\right)\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-\left(0+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}\end{array}$$

   $C={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\left(2\cos 3t+3\sin 2t\right)\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{1}{12}}$.

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